÷ƒ’À;è TeX output 1998.01.28:1032‹ÿÿÿÿ Þ·¬ ý#HT ¾·¬ þD+ ÿ-žŸòñË‘âŸåt›‰ffûŸ$ÿ„$ÿffŸïÌÈ‘óò"V cmbx10ºDistributed–ÕTComputing“man®9uscript“No.ŽŸ ³8‘óKñ`y cmr10²(will–UUbGe“inserted“b¸ãy“the“editor)ŽŽ’ú34„$ÿffŽžff‰ffûŽŽŽŸH˜‘âóÂÖN ff cmbx12¼Lošs3cal–ffcoupling“of“shell“mo˜delsŸúÆ=óDF‰” cmmib10¿?Ž‘ ¦d¼leads“to“anomalous“scalingŽŸ&n‘âó'ÂÖN  cmbx12ÒThis–€is“a“sample“article“for“Distributed“ComputingŽŸyŸ‘âºC.–ÕTUhligŸü^ÿóÙ“ Rcmr7±1Ž›|sº,“J.“EggersŸü^ÿó 0e—rcmmi7´??Ž‘±Èº,“I.“AbtŸü^ÿ±1Ž˜º,“T.“AhmedŸü^ÿ±2Ž˜º,“V.“AndreevŸü^ÿ±3Ž˜º,“B.“AndrieuŸü^ÿ±4Ž˜º,“R.-D.“AppuhnŸü^ÿ±5ŽŽŸî‘âŸü-=ó)¹Aa¨cmr6Ô1ŽŽ‘êÊ¥ó(o´‹Ç cmr9ÓF‘ÿ:«ac•¾9h“bAÇereic“h›TPh“ysik,˜Univ“ersit‘û`at˜{˜Gesam“thoAÇc“hsc“h“ule˜{˜Essen,˜D-45117˜Essen,˜German“yŽ¤ ³8‘âŸü-=Ô2ŽŽ‘êÊ¥ÓI.›TPh•¾9ysik‘ÿ|ralisc“hes˜Institut˜der˜R‘þøäWTH,˜Aac“hen,˜German“yŸü-=ó+;Îcmmi6Ö???ŽŽ¡‘âŸü-=Ô3ŽŽ‘êÊ¥ÓI•AÇI“I.›TPh•¾9ysik‘ÿ|ralisc“hes˜Institut˜der˜R‘þøäWTH,˜Aac“hen,˜German“yŽ¡‘âŸü-=Ô4ŽŽ‘êÊ¥ÓScš¾9hoAÇol–Tof“Ph˜ysics“and“Space“Researc˜h,“Univ˜ersit˜y“of“Birmingham,“Birmingham,“UKŸü-=ó-q¡% cmsy6ØyŽŽ¡‘âŸü-=Ô5ŽŽ‘êÊ¥ÓIn•¾9ter-Univ“ersit“y–TInstitute“for“High“Energies“ULB-VUB,“Brussels,“BelgiumŸü-=ØzŽŽ¡‘âŸü-=Ô6ŽŽ‘êÊ¥ÓRutherford–TAppleton“LabAÇoratory‘ÿ:«,“Chilton,“Didcot,“UKŽ¡‘âŸü-=Ô7ŽŽ‘êÊ¥ÓInstitute–Tfor“Nuclear“Phš¾9ysics,“Craco˜w,“P˜olandŸü-=ØxŽŽ¡‘âŸü-=Ô8ŽŽ‘êÊ¥ÓPh•¾9ysics›TDepartmen“t˜and˜IAÇIRP‘ÿ:«A,˜Univ“ersit“y˜of˜California,˜Da“vis,˜California,˜USAŽŸŒÒ‘âThe–Tdate“of“receipt“and“acceptance“will“bAÇe“inserted“b¾9y“the“editorŽŽ »ûÕ þb+‘âºSummary‘ÿ «.ŽŽ‘“|²This–¥Èarticle“demonstrates“(almost)“all“pGos-Ž¤ <.‘âsibilities–SÖo ered“bš¸ãy“the“new“doGcumen˜t“class“ó5ßê cmmi10µ`ãºvš(ä²(ºr²)–Ç=“ºv˜²(ºx–8à²+“ºr²)“ó !",š cmsy10¸“ºv˜²(ºx²)Ž’W¼o•¸ãv“er–¼úa“distance“¸jºr¸j“²follo¸ãws“sca-Ž¡’é!Mling‘UUla¸ãwsŽŸ’é!MµDGŸûÞÿ±(´p±)Ž‘ &q²(µršG²)–Ǹ“hŽ‘ª§jºvš(ä²(ºx–8à²+“ºr²)“¸“ºv˜²(ºx²)Ž‘EUE¸jŸûÞÿ´pŽ‘ŸR¸iŽŽ‘\Ø“µr˜ŸûÞÿ´ŸóO Ú\cmmi5³pŽŽŽŽŽ’Ð8á²(1)ŽŽŽŽŽŸ€’é!Min–ÇYthe“limit“of“high“Reynolds“n•¸ãum“bGers.–ÇYBy“taking“v¸ãelo-Ž¡’é!Mcit¸ãy›±‹óý': cmti10¹di er–ÿ}'enc“es˜²o•¸ãv“er˜a˜distance˜µr•G²,˜one˜prob“es˜ob‘Ž8jects˜ofŽ¡’é!McorrespGonding‘UUsize.ŽŸ3z’é!M¹Claim.ŽŽ’ Cd²This–Wis“a“claim.“Claims“are“unn•¸ãum“bGered–Wand“theŽ¡’é!MappšGearance–UUis“exactly“the“same“as“is“pro˜ofs.Ž©ÎÑ’é!M¹Pr–ÿ}'o“of.ŽŽ’v–²This–Åœis“a“prošGof.“Pro˜ofs“are“unn•¸ãum“b˜ered–Åœand“theŽ¡’é!MappGearance–UUis“exactly“the“same“as“is“claims.Ž¦’é!M¹Case‘“ç1.ŽŽ’×J²This–Ûis“a“case.“Cases“are“unn•¸ãum“bGered–Ûand“theŽ¡’é!MappGearance–UUis“exactly“the“same“as“is“claims.Ž¦’ø!MIn–(Case“1“yš¸ãou“w˜an˜t“a“di eren˜t“n˜um˜bGering“systemŽ¡’é!Mfor–Òðyš¸ãour“theorem“lik˜e“en˜vironmen˜ts“please“see“Sect.“2Ž¡’é!Mof–Ãthe“doGcumen¸ãtation“of“the“general“Springer“journalsŽ¡’é!MdoGcumen¸ãt‘UUclass.ŽŸ3z’é!M¹R‘ÿ}'emark.ŽŽ’¯u²This–Cíis“a“remark.“Remarks“are“unn•¸ãum“bGeredŽ¡’é!Mand–UUthe“appGearance“is“exactly“the“same“as“is“claims.Ž¦’é!MºTheorem‘ÕT1.ŽŽ’'èW¹This–Cýis“a“the–ÿ}'or“em.–CýThis“envir‘ÿ}'onment“isŽ¡’é!Mautomagic–ÿ}'al‘‚Øly›óa“vš¸ãolume“of“p•Gerio“dicit˜y–>ó(2µ[ÙL²)Ÿü^ÿ±3Ž‘|s².“In“order“to“restrictŽ¡‘âthe–+ýexcited“F‘ÿ*ªourier-moGdes“of“the“turbulenš¸ãt“v˜eloGcit˜y“ eldŽ¡‘âto–'xa“nš¸ãumerically“tractable“n˜um˜bGer,“the“Na˜vier-Stok˜esŽ¡‘âequation–5.is“pro‘Ž8jected“onš¸ãto“a“self-similar“set“of“w˜a˜v˜e“v˜ec-Ž¡‘âtors–w¸K‘ì²=‘ÇŸøüóú±u cmex10«SŽ‘ oŸ´`Ž‘Ÿý¸KŸÿ´`Ž‘Øæ².“Eacš¸ãh“of“the“w˜a˜v˜e“v˜ector“shells“¸KŸÿ´`Ž‘Où²repres-Ž¡‘âenš¸ãts–n9an“oGcta˜v˜e“of“w˜a˜v˜e“n˜um˜bšGers.“The“shell“¸KŸÿ±0Ž‘ꬲdescrib˜esŽ¡‘âthe–ÑHturbulenš¸ãt“motion“of“the“large“eddies“whic˜h“are“of“theŽ¡‘âorder–ܤof“the“outer“length“scale“µL².“This“shell“is“de ned“b¸ãyŽŸ c‘âµN‘þ±²w•¸ãa“v“e›ç–v“ectors˜ºkŸúÎ:±(0)ŽŸûZ´iŽŽ‘ ¼u²:˜¸KŸÿ±0Ž‘7L²=–ºÙ¸fºkŸúÎ:±(0)ŽŸûZ´iŽŽ‘wN²:“µi“²=“1µ;–ª¨:“:“:Ž‘ÿ÷;‘ª¨N‘¸g².˜Star-Ž¡‘âting–ÖŠwith“the“generating“shell“¸KŸÿ±0Ž‘|s²,“the“other“shells“¸KŸÿ´`Ž‘¯p²areŽŽŽ ý]1É’é!Mfound–Vfbš¸ãy“a“successiv˜e“rescaling“of“¸KŸÿ±0Ž‘ÒÙ²with“a“scaling“factorŽ¤ <.’é!M2:–NݸKŸÿ´`Ž‘Ÿþ²=‘Ç2Ÿü^ÿ´`Ž‘Øæ¸KŸÿ±0Ž‘|s².“Thš¸ãus“eac˜h“¸KŸÿ´`Ž‘'òconsists“of“the“µN‘eø²scaled“w˜a˜v˜eŽŸ ñÅ’é!Mv¸ãectors›"2Ÿü^ÿ´`Ž‘ØæºkŸúÎ:±(0)ŽŸûZ´iŽŽ‘ ¼uµ;‘Ì®i–Dz=“1µ;–ª¨:“:“:Ž‘ÿ÷;‘ª¨N‘².˜The˜shell˜¸KŸÿ´`Ž‘úì²represen¸ãts˜ed-ŽŸ G’é!Mdies–œÀat“length“scales“µr‘5¸‘Dz2Ÿü^ÿó O!â…cmsy7·´`Ž‘ çµL²,“i.e.“to“smaller“and“smallerŽ¡’é!Meddies–GFas“the“shell“index“µ`“²increases.“A¸ãt“scales“µr‘5¸‘ǵ‘£²theŽ¡’é!M uid–ýÒmotion“is“dampGed“bš¸ãy“viscosit˜y“µ‘¢ö²,“th˜us“prev˜en˜tingŽ¡’é!Mthe–åšgeneration“of“in nitely“small“scales.“Hence“w¸ãe“onlyŽ¡’é!Mneed–;^to“sim¸ãulate“shells“¸KŸÿ´`Ž‘Øæµ;‘ª¨`–Ç<“`Ÿÿ´Ž‘ùɲ,–;^where“µ`Ÿÿ´Ž‘ÀḑDzlogŽ‘±ÄŸqƱ2Ž‘.7²(µL=[Ù²)Ž¡’é!Mis–$×cš¸ãhosen“suc˜h“that“the“amplitudes“in“¸KŸÿ´`Ÿ³ŽŽ‘ g‡²are“e ectiv˜elyŽ¡’é!Mzero.–ýIn“this“represenš¸ãtation“the“Na˜vier-Stok˜es“equationŽ© ÕZ’é!Mfor–&incompressible“ uids“reads“for“all“ºk–Ǹ2“K‘ì²=“Ÿøü«SŽŸúøÞ‘ o´`Ÿ³ŽŽŸ%‘ o´`±=0ŽŽ‘À¸KŸÿ´`Ž‘Øæ²:ŽŸ³oŸù<$’ì"¹µ@Ž’êT€Ÿw‰fe yÇŸ (Ö@‘Ž8tŽŽŽŽ’õzuŸÿ´iŽ‘TL²(ºkµ;‘ª¨t²)ŽŽ’ö^=ŽŽ’!½|¸µ{MŸÿ´ijgkŽ‘ vˆ²(ºk²)‘ߟŸöü«XŽŽŸ á¿Ÿü³š‘Û‰ó6«-Œhcmbx5áp³;áqó °Ü0ncmsy5¶2KŽŸµ;‘ÝÛákó†›Zcmr5°=áp°+áqŽŽŽŽ‘1µuŸÿ´jŽ‘6¬²(ºpµ;–ª¨t²)µuŸÿ´kŽ‘ë²(ºqµ;“t²)ŽŽŽŸçP’!½|¸µ‘¢ökP—ŸûÞÿ±2Ž‘Í µuŸÿ´iŽ›TL²(ºkµ;‘ª¨t²)–8à+“µfŸÿ´iŽ˜²(ºkµ;‘ª¨t²)ŽŽ’Ë8à(7a)ŽŽŽŸ<.’êaºk–8ณºu²(ºkµ;‘ª¨t²)ŽŽ’ö^=ŽŽ’!½|0µ:ŽŽ’ʪ§²(7b)ŽŽŽŸ9÷’é!MThe–lTcoupling“tensor“µMŸÿ´ijgkŽ‘ vˆ²(ºk²)–ík=“[Ž‘´ˆµkŸÿ´jŽ‘6¬µPŸÿ´ikŽ‘¿Ü²(ºk²)–8à+“µkŸÿ´kŽ‘ëµPŸÿ´ijŽ‘ ø²(ºk²)]ŽŽ‘a>›µ=²2Ž¡’é!Mwith–™€the“pro‘Ž8jector“µPŸÿ´ikŽ‘¿Ü²(ºk²)–8´=“µŸÿ´ikŽ‘ &.¸‘fRµkŸÿ´iŽ‘TLµkŸÿ´kŽ‘ëµ=kP—Ÿü^ÿ±2Ž‘fŠ²is‘™€symmetricŽ¡’é!Min–Þ0µjR;‘ª¨k‘.Dzand“µMŸÿ´ijgkŽ› vˆ²(ºk²)–«/=“¸µMŸÿ´ijgkŽ˜²(¸ºk²).–Þ0The“inertial“part“ofŽ¡’é!M(7a)–ƒconsists“of“all“triadic“inš¸ãteractions“bGet˜w˜een“moGdesŽ¡’é!Mwith›1ºk–Dz=“ºp–’™²+“ºq².˜They˜are˜the˜same˜as˜in˜the˜full˜Na¸ãvier-Ž¡’é!MStokš¸ães–—ñequation“for“this“triad.“The“v˜eloGcit˜y“ eld“is“driv˜enŽ¡’é!Mbš¸ãy–üan“external“force“ºf‘²(ºkµ;‘ª¨t²)“whic˜h“sim˜ulates“the“energyŽ¡’é!Minput–UUthrough“a“large-scale“instabilit¸ãy‘ÿ*ª.ŽŸ Æ’ø!MWithin–“›this“approš¸ãximation“sc˜heme“the“energy“of“aŽ¡’é!Mshell‘UUisŽŸÞÔ’é!MµEŸÿ´`Ž‘Øæ²(µt²)‘Ç=Ÿù<$‘úK1Ž‘úKŸw‰feŸ (Ö2ŽŽŽŽ‘€Ÿöü«XŽŽŸ ‘ Ø'óf$Øcmbx7½k·2KŸ¥³`ŽŽŽ‘!DT¸jºu²(ºkµ;‘ª¨t²)¸jŸûÞÿ±2Ž‘|sµ;ŽŽŽ’Ð8á²(8)ŽŽŽŽŽŸ ±¼’é!Mand–¹ in“the“absence“of“an¸ãy“viscous“or“external“drivingŽ¦’é!Mthe–"5total“energy“of“the“ o¸ãw“ eld“µEŸÿ´totŽ‘ })²(µt²)–‹=“Ÿøü«PŽŸúøÞ‘ªÆ´`Ÿ³ŽŽŸ%‘ªÆ´`±=0ŽŽ‘NWµEŸÿ´`Ž‘Øæ²(µt²)ŽŸqÉ’é!Mis–HEconservš¸ãed.“The“c˜hoice“of“generating“w˜a˜v˜e“v˜ectors“ºkŸúÎ:±(0)ŽŸûZ´iŽŽŽ¡’é!M²determines–œÎthe“pGossible“triad“inš¸ãteractions.“This“c˜hoiceŽ¡’é!Mmš¸ãust–D_at“least“guaran˜tee“energy“transfer“bGet˜w˜een“shellsŽ¡’é!Mand–Ýxsome“mixing“within“a“shell.“In“[17,‘18]“di erenš¸ãt“c˜hoi-Ž¡’é!Mces–„äfor“w•¸ãa“v“en“um“bGer–„äsets“¸KŸÿ±0Ž‘ W²are“in•¸ãv“estigated.–„äThe“lar-Ž¡’é!Mger–×the“n•¸ãum“bšGer–×µN‘of“w•¸ãa“v“e‘×n“um“b˜ers,–×the“more“e ectiv¸ãeŽ¡’é!Mthe–¢~energy“transfer.“Usually“one“selects“directions“in“ºk²-Ž¡’é!Mspace–bto“bGe“distributed“evš¸ãenly“o˜v˜er“a“sphere.“Ho˜w˜ev˜er,Ž¡’é!Mthere–ï are“di erenš¸ãt“pGossibilities“whic˜h“c˜hange“the“relativ˜eŽ¡’é!MimpGortance–gxof“inš¸ãtra-shell“v˜ersus“in˜ter-shell“couplings.“InŽ¡’é!Mthis–©SpapGer,“wš¸ãe“are“going“to“in˜v˜estigate“t˜w˜o“di eren˜t“w˜a˜v˜eŽ¡’é!Mv¸ãector–Cisets,“with“µN›Þ3²=‘Ç26“and“µN˜²=‘Ç74,“whicš¸ãh“w˜e“call“theŽ¡’é!Msmall–CÅand“the“large“w•¸ãa“v“e›CÅv“ector˜set,˜respGectiv“ely‘ÿ*ª.˜In˜Fig.˜1Ž¡’é!Ma›µšt•¸ãw“o-dimensional˜pro‘Ž8jection˜of˜bGoth˜sets˜is˜plotted.˜TheŽ¡’é!Mlarge›3w•¸ãa“v“e˜v“ector˜set˜also˜con“tains˜some˜next-to-nearestŽ¡’é!Mneigh•¸ãbGor›º7in“teractions˜bGet“w“een˜shells,˜whic“h˜w“e˜put˜toŽ¡’é!Mzero–xVhere,“since“they“con¸ãtribute“little“to“the“energy“trans-Ž¡’é!Mfer.–šThe“small“set“alloš¸ãws“120“di eren˜t“in˜teracting“triads,Ž¡’é!Mthe– large“set“501“triads,“333“of“whicš¸ãh“are“bGet˜w˜een“shells.ŽŸ Æ’ø!MSince–­›in“the“moGdels“w¸ãe“consider“energy“transfer“isŽ¡’é!Mpurely–“:loGcal,“the“shell“energies“µEŸÿ´`Ž‘Øæ²(µt²)µ;‘=â`–.?²=“0µ;–ª¨:“:“:Ž‘ÿ÷;‘ª¨`Ÿÿ´Ž‘²onlyŽ¡’é!Mc¸ãhange–½µin“respšGonse“to“energy“in ux“µTŸÿ´`·±1·!´`Ž‘$Ú²from“ab˜o•¸ãv“eŽ¡’é!Mand–[ýenergy“out ux“µTŸÿ´`·!´`±+1Ž‘¦±²to“the“lo•¸ãw“er–[ýshell.“In“addition,ŽŸ Ç’é!Mthere–âVis“a“rate“of“viscous“dissipation“µTŸúÎ:‘c±(´diss±)ŽŸ6´`ŽŽ‘®²(µt²)“whic¸ãh“isŽ¡’é!Mconcen¸ãtrated–5÷on“small“scales,“and“a“rate“of“energy“inputŽ¡’é!MµTŸü^ÿ‘c´inŽŸl±0ŽŽ‘ ©Y²(µt²),–UUwhicš¸ãh“feeds“the“top“lev˜el“only‘ÿ*ª,“cf.“Fig.“1.ŽŽŽŽŽŽŒ‹3> Þ·¬ ý#HT‘âÓ4Ž’µaC.–TUhlig“et“al.:“LošAÇcal“coupling“of“shell“mo˜dels“leads“to“anomalous“scalingŽŽŽ ¾·¬ þüŸýUY‘â ÿCÌtï>ps::[begin] 3729359 12333964 0 0 12630097 41771417 startTexFigïps: plotfile fig2.epsïps::[end] endTexFigŽŽŸ¨€‘'¾àó7t ‰: cmbx9âFig.–ûö1.“ÓThe–TŸ (Ö‘’ØŽŽŽŽ‘­Ô²=Ÿù<$‘ ¿-µLŸü^ÿ±2ŽŽ‘úKŸw‰fe㎟ (Ö¸hŽ‘ãµEŸÿ±0Ž‘|s¸iŽŽ‘PµŽŽŽŽ‘  ;ŽŽŽ’Ä“²(12)ŽŽŽŽŽŸã‘ñThis–gleads“to“a“stationary“cascade“whose“statisticalŽ¦‘âpropGerties–Ffare“go•¸ãv“erned›Ffb“y˜the˜complicated˜c“haotic˜dyna-Ž¦‘âmics–U™of“the“nonlinear“moGde“in¸ãteractions.“Owing“to“energyŽ¦‘âconserv‘ÿqÇation,–§xviscous“dissipation“equals“the“energy“in-Ž¦‘âput–Òon“a•¸ãv“erage.–ÒThe“Reynolds“n•¸ãum“bGer–Òis“givš¸ãen“b˜y“sinceŽ¦‘âµT‘›‹²=‘7ü¸hŽ‘ ‹µEŸÿ±0Ž‘|s¸iŽŽ‘‡üµ=–ÌF²sets“a“tš¸ãypical“turno˜v˜er“time“scale“of“theŽŽŽ þ)ïÔŸÅ?è’é!M¥ÿd ïAps::[begin] 12027179 10223091 0 0 30851645 26510049 startTexFig ïps: plotfile fig5.eps ïps::[end] endTexFig  ›ýó¡ŽŽŸ ³8’é!MâFig.–ÄÁ3.“ÓEnergy–Eðof“a“shell“(Õ`–âÊÓ=“2)–Eðas“a“function“of“time.“TheŽ¤ ³8’é!Mrapid–HD uctuations“come“from“the“motion“of“individual“F‘ÿ:«ourierŽ¡’é!MmoAÇdes.›™—A‘™um•¾9uc“h˜longer˜time˜scale˜is˜rev“ealed˜b“y˜pAÇerformingŽ¡’é!Ma–_ oating“a•¾9v“erage›_o“v“er˜one˜turno“v“er˜time˜of˜the˜second˜lev“elŽ¡’é!M(bAÇold–Tline).“The“time“is“giv¾9en“in“units“of“ÕT‘Ú©Ó=‘‘Æ×hŽ‘*¨ÕEŸÿÿÔ0Ž‘*§×iŽŽ‘GlÕ=ŽŽŸ€:’é!M²energy–+Don“the“highest“levš¸ãel.“W‘ÿ*ªe“bGeliev˜e“µT‘ŽÓ²to“bGe“of“parti-Ž¤ <.’é!Mcular–Åcrelev‘ÿqÇance,“since“the“large-scale“ uctuations“of“theŽ¡’é!Menergy–Óþwill“turn“out“to“bšGe“resp˜onsible“for“the“in¸ãtermit-Ž¡’é!Mten•¸ãt›—'bGeha“vior˜w“e˜are˜in“terested˜in.˜In˜[18],˜for˜example,ŽŸ a’é!Mtime–ÒÒis“measured“in“units“of“µLŸü^ÿ±2´=±3Ž‘ ‘ʵŸü^ÿ·±1´=±3Ž‘Ñ˲,“whicš¸ãh“t˜ypicallyŽ¡’é!Mcomes–U‡out“to“bGe“1/10th“of“the“turno•¸ãv“er–U‡time“of“the“energyŽ¡’é!MµT‘c².–á¼As“wš¸ãe“are“going“to“see“bGelo˜w,“this“is“rather“a“measureŽ¡’é!Mof–Jïthe“turno•¸ãv“er–Jïtimes“of“the“individual“F‘ÿ*ªourier“moGdes.Ž¡’é!MFigure–€22“sho¸ãws“the“scaling“of“the“mean“energy“in“a“log-Ž¡’é!Mlog–§plot“at“a“Reynolds“n•¸ãum“bGer–§of“4µ:²2–oa¸“²10Ÿü^ÿ±5Ž‘|s².–§The“inertialŽ¡’é!Mrange–å›extends“o•¸ãv“er–å›three“decades,“where“a“pGo•¸ãw“er‘å›la“wŽ¡’é!Mv¸ãery–&õclose“to“the“prediction“of“classical“scaling“is“seen.Ž¡’é!MBeloš¸ãw–o¥the“10th“lev˜el“the“energies“drop“sharply“due“toŽ¡’é!Mviscous–Åçdissipation.“In“Sect.“3“w¸ãe“are“going“to“turn“ourŽ¡’é!Matten¸ãtion–_Ìto“the“small“corrections“to“2/3-scaling,“hardlyŽ¡’é!Mvisible–1(in“Fig.“2.“Still,“there“are“considerable“ uctuati-Ž¡’é!Mons–èìin“this“moGdel,“as“evidenced“b¸ãy“the“plot“of“the“energyŽ¡’é!Mtransfer–º in“Fig.“2.“Tš¸ãypical“excursions“from“the“a˜v˜erage,Ž¡’é!Mwhic¸ãh–² is“normalized“to“one,“are“quite“large.“Ultimately‘ÿ*ª,Ž¡’é!Mthese–ê uctuations“are“respGonsible“for“the“in¸ãtermittencyŽ¡’é!Mcorrections–UUwš¸ãe“are“going“to“observ˜e.ŽŸ |K’ø!MThš¸ãus–Ôwithin“the“REW‘þãA-cascade“w˜e“are“able“to“n˜u-Ž¡’é!Mmerically–¸analyze“the“in uence“of“ uctuations“on“theŽ¡’é!Mstationary–þFstatistical“propšGerties“of“a“cascade“with“lo˜calŽ¡’é!Menergy–Ïatransfer“on“the“basis“of“the“Na•¸ãvier-Stok“es‘Ïaequa-Ž¡’é!Mtion.–vIn“Fig.“3“wš¸ãe“plot“the“time“ev˜olution“of“the“energy“onŽ¡’é!Mthe–øEsecond“levš¸ãel“of“the“cascade.“One“observ˜es“short-scaleŽ¡’é!M uctuations,–b×whic¸ãh“result“from“the“motion“of“individualŽ¡’é!MF‘ÿ*ªourier–EcmoGdes“within“one“cascade“levš¸ãel.“Ho˜w˜ev˜er,“pGer-Ž¡’é!Mforming–N€a“ oating“a•¸ãv“erage›N€rev“eals˜a˜¹se–ÿ}'c“ond˜²time˜scale,Ž¡’é!Mwhicš¸ãh–nis“of“the“same“order“as“the“turno˜v˜er“time“of“theŽ¡’é!Mtop–Øzlevš¸ãel.“As“w˜e“are“going“to“see“in“Sect.“4,“this“disparit˜yŽ¡’é!Mof–Âœtime“scales“is“evš¸ãen“more“pronounced“on“lo˜w˜er“lev˜els.Ž¡’é!MThe–Ñph¸ãysics“idea“is“the“same“as“in“the“microscopic“foun-Ž¡’é!Mdation–+of“hš¸ãydroGdynamics,“where“conserv˜ed“quan˜tities“areŽ¡’é!Massumed–Žvto“mo•¸ãv“e–Žvon“m•¸ãuc“h›Žvslo“w“er˜time˜scales˜than˜indivi-Ž¡’é!Mdual–l¶particles.“This“motiv‘ÿqÇates“us“to“consider“the“energyŽ¡’é!Mas–»e–‘ÆÓ=“4Õ:Ó2–8דÓ10Ÿü-=Ô5ŽŽŽŽŽ ¼|  þaƒô‘â²capture–àÑthe“rare,“large-scale“ev•¸ãen“ts›àÑc“haracteristic˜of˜in-Ž¤ <.‘âtermittenš¸ãt–# uctuations,“since“the“conserv˜ed“quan˜tit˜y“isŽ¡‘âthe–•’\sloš¸ãw"“v‘ÿqÇariable“of“the“system.“Similar“ideas“ha˜v˜e“alsoŽ¡‘âbGeen–Ý™adv›ÿqÇanced“for“the“conserv˜ativ¸ãe“dynamics“of“a“non-Ž¡‘âequilibrium–UUstatistical“mec¸ãhanical“system“[30].ŽŸC«‘‘â¹2.2Ž‘òžkThe‘“çL–ÿ}'angevin-c“asc“adeŽŸ8ob‘â²In–H#this“moGdel“wš¸ãe“tak˜e“a“phenomenological“view“of“theŽ¡‘âproGcess–ˆEof“energy“transfer.“The“c¸ãhaotic“dynamics“of“theŽ¡‘âREW‘þãA-cascade–cis“mošGdeled“b¸ãy“a“sto˜c¸ãhastic“equation.“W‘ÿ*ªeŽ¡‘âmakš¸ãe–hˆsure“to“include“the“main“ph˜ysical“features“of“energyŽ¡‘âconserv‘ÿqÇation–éôand“loGcal“coupling.“In“particular,“the“dyna-Ž¡‘âmics–öÁis“simple“enough“to“alloš¸ãw“for“analytical“insigh˜t“in˜toŽ¡‘âthe–UUe ects“of“ uctuating“energy“transfer“[20].ŽŸ/‘ñAs–ƒÔin“the“REW‘þãA-cascade,“the“turbulenš¸ãt“ o˜w“ eld“isŽ¡‘âdescribGed–­bš¸ãy“a“sequence“of“eddies“deca˜ying“successiv˜elyŽ¡‘â(Fig.–±1).“The“eddies“at“length“scales“µr‘5¸‘Dz2Ÿü^ÿ·´`Ž‘ çµL“²are“repre-Ž¡‘âsen•¸ãted›a:b“y˜their˜energy˜µEŸÿ´`Ž‘Øæ²(µt²).˜As˜bGefore˜w“e˜restrict˜oursel-Ž¡‘âvš¸ães–Cto“loGcal“energy“transfer,“and“th˜us“the“time“ev˜olutionŽ¡‘âof–ÄNthe“shell“energies“µEŸÿ´`Ž‘Øæ²(µt²)“is“go•¸ãv“erned›ÄNb“y˜(9).˜The˜crucialŽ¡‘âstep–xVis“of“course“to“c¸ãhoGose“an“appropriate“energy“trans-Ž¡‘âfer–DµTŸÿ´`·!´`±+1Ž‘J´²(µt²).“F›ÿ*ªor“simplicit¸ãy˜,“wš¸ãe“restrict“ourselv˜es“to“aŽ¡‘âLangevin–ƒfprošGcess“with“a“white“noise“force.“Th¸ãus“the“lo˜calŽ¡‘âtransfer–ãµTŸÿ´`·!´`±+1Ž‘J´²(µt²)“is“split“in¸ãto“a“deterministic“and“a“sto-ŽŸ ñÆ‘âc¸ãhastic–part“µTŸÿ´`·!´`±+1Ž›J´²(µt²)–ç=“µTŸúÎ:‘c±(´det±)ŽŸ6´`·!´`±+1ŽŽ˜²(µt²)–¬ +“µTŸúÎ:‘c±(´stoch±)ŽŸ6´`·!´`±+1ŽŽ‘#²(µt²)‘whereŽ¡‘âbšGoth–_ parts“should“dep˜end“only“on“the“lo˜cal“length“scaleŽ¡‘â2Ÿü^ÿ·´`Ž‘ çµL–³`²and“the“neigh¸ãbGoring“energies“µEŸÿ´`Ž‘ŒF²and“µEŸÿ´`±+1Ž‘ øé².“TheŽ¡‘âmost–™³general“form“dimensionally“consisten¸ãt“with“this“hasŽ¡‘âbGeen–@givš¸ãen“in“[20].“F‘ÿ*ªor“simplicit˜y‘ÿ*ª,“here“w˜e“restrict“our-ŽŽŽ þaƒô’é!Mselv¸ães–UUto“the“spGeci c“formŽŸ%R“’êùŸµTŸúÎ:‘c±(´det±)ŽŸ6´`·!´`±+1ŽŽ‘J´²(µt²)ŽŽŽ’Fû=‘ǵDŸù<$‘zP²2Ÿü^ÿ´`ŽŽ‘zPŸw‰feØçŸ (Ö‘WµLŽŽŽŽ‘ 1Ÿôæ`«Ž‘)öµEŸúÎ:‘“±3´=±2ŽŸ6´`ŽŽ‘ %W²(µt²)–8ณµEŸúÎ:‘“±3´=±2ŽŸ6´`±+1ŽŽ‘ øé²(µt²)Ÿôæ`«ŽŽŽŽŽ’Æ8ß²(13a)ŽŽŽŽŽŸH’é!MµTŸúÎ:‘c±(´stoch±)ŽŸ6´`·!´`±+1ŽŽ‘#²(µt²)ŽŽŽ’Fû=‘ǵR‘¾oŸñæ^«ŽŸù<$‘ N²2Ÿü^ÿ±(´`±+1)ŽŽ‘ NŸw‰fe8ìŸ (Ö‘ 5YµLŽŽŽŽ‘$º5Ÿñæ^«ŽŽ‘,©ŸòÔ±1´=±2Ž‘:S²(µEŸÿ´`Ž‘Øæ²(µt²)µEŸÿ´`±+1Ž– øé²(µt²))ŸûÞÿ±5´=±8Ž‘ ‘ʵŸÿ´`±+1Ž“²(µt²)ŽŽŽŸ <.’Ū¦(13b)ŽŽŽŽŽŽŸ Ð’ôZøµTŸúÎ:‘c±(´in±)ŽŸ6´`ŽŽ‘é[²(µt²)ŽŽŽ’Fû=‘ǵŸÿ´`±0ŽŽŽŽ’ÆDz(13c)ŽŽŽŽŽŸТ’í–PµTŸúÎ:‘c±(´diss±)ŽŸ6´`ŽŽ‘®²(µt²)ŽŽŽ’Fû=‘Ǹµ‘¢ö²(2ŸûÞÿ·´`Ž‘ çµL²)ŸûÞÿ·±2Ž‘ ¼tµEŸÿ´`Ž‘Øæµ:ŽŽŽ’Ū¦²(13d)ŽŽŽŽŽŸ[¬’é!MThe–%`white“noise“is“represenš¸ãted“b˜y“µŸÿ´`Ž›Øæ²,“i.e.“¸hŽ‘ﵟÿ´`Ž˜²(µt²)¸iŽŽ‘!P ²=‘Ç0“andŽ¤ <.’é!M¸hŽ’íܵŸÿ´`Ž‘Øæ²(µt²)µŸÿ´`Ÿþ¶0ŽŽ‘Y²(µtŸü^ÿ·0Ž‘Î9²)¸iŽŽ’"íz²=‘Iu2µŸÿ´``Ÿþ¶0ŽŽ‘ æ?µ`ã²(µt–9Ò¸“µtŸü^ÿ·0Ž‘Î9²).–ÖÂW‘ÿ*ªe“use“Ito's“[31]“de ni-Ž¡’é!Mtion–Ú·in“(13b).“T‘ÿ*ªo“understand“the“dimensions“appGearingŽŸ ñÆ’é!Min–eQ(13a),“note“that“µuŸÿ´`Ž‘eK¸‘ŒeµEŸúÎ:‘“±1´=±2ŽŸ6´`ŽŽ‘Š¨²is“a“lošGcal“v•¸ãelo˜cit“y‘eQscaleŽŸ ±’é!Mand–F;µk‘©-¸‘X–²2Ÿü^ÿ´`Ž‘Øæµ=L“²is“a“w•¸ãa“v“en“um“bGer.›F;Th“us˜(13a)˜dimensio-Ž¡’é!Mnally–ÐDrepresen¸ãts“the“energy“transfer“(10a).“In“(13b)“theŽ¡’é!MpGo•¸ãw“ers–ܨare“di eren¸ãt,“since“µ‘Ro²carries“an“additional“dimen-ŽŸ f’é!Msion–œMof“1µ=²timeŽ‘qÊŸûË*±1´=±2Ž‘ ”².“It“follo¸ãws“from“(13a)“that“the“sign“ofŽ¡’é!Mthe–…cdeterministic“energy“transfer“depGends“on“whic¸ãh“ofŽ¡’é!Mthe–(‰neigh¸ãbGoring“energies“µEŸÿ´`Ž‘o²or“µEŸÿ´`±+1Ž‘!r²are“greater.“If“forŽŸ Ç’é!Mexample–*™µEŸÿ´`Ž‘²is“larger,“µTŸúÎ:‘c±(´det±)ŽŸ6´`·!´`±+1ŽŽ‘J´²(µt²)“is“pGositiv¸ãe,“depleting“µEŸÿ´`ŽŽ¡’é!M²in›ÆÁfa•¸ãv“or˜of˜µEŸÿ´`±+1Ž‘ øé².˜Hence˜the˜deterministic˜part˜tends˜toŽ¡’é!Mequilibrate–° the“energy“among“the“shells.“The“stoGc¸ãhasticŽ¡’é!Mpart,–iSon“the“other“hand,“is“symmetric“with“respGect“toŽ¡’é!Mthe›x¤t•¸ãw“o˜lev“els˜µ`˜²and˜µ`–Pj²+“1.˜This˜re ects˜our˜expGectationŽ¡’é!Mthat–õ÷in“equilibrium“it“is“equally“probable“for“energy“toŽ¡’é!MbGe–UUscattered“up“or“do¸ãwn“the“cascade.ŽŸËí’ø!MThe–H$com¸ãbined“e ect“of“(13a)“and“(13b)“is“that“wi-Ž¡’é!Mthout–Ž†driving,“energies“ uctuate“around“a“common“meanŽ¡’é!Mv‘ÿqÇalue.–ý™This“equipartition“of“energy“in“equilibrium“is“pre-Ž¡’é!Mcisely–[ówhat“has“bGeen“predicted“on“the“basis“of“the“Na¸ãvier-Ž¡’é!MStok¸ães–requation“[32,‘33].“The“only“free“parameters“appGea-Ž¡’é!Mring–1Üin“the“transfer“are“th¸ãus“the“amplitudes“µD‘xù²and“µRDz.“IfŽ¡’é!MµR‘$ø²is–1put“to“zero,“the“motion“is“purely“deterministic,“andŽŽŽŽŽŽŽŒ‹s¦ Þ·¬ ý#HT‘âÓ6Ž’µaC.–TUhlig“et“al.:“LošAÇcal“coupling“of“shell“mo˜dels“leads“to“anomalous“scalingŽŽŽ ¾·¬ ý]1É‘â²one–UUobtains“the“simple“solutionŽŸ.‘âµEŸúÎ:‘“±(0)ŽŸ6´`ŽŽ‘²=–ǵC‘·²2ŸûÞÿ·±(2´=±3)´`Ž‘À²withŽ‘6‡'µC‘~4²=“Ÿñæ^«ŽŸù<$‘ V¿²2µLŽ‘ V¿Ÿw‰feÝXŸ (Ö‘§bDŽŽŽŽ‘gJŸñæ^«ŽŽ‘#þŸóøÛ±2´=±3Ž‘20µ:ŽŽŽ’Ä“²(14)ŽŽŽŽŽŸ¸‘âThis–p correspGonds“to“a“classical“Kolmogoro¸ãv“solution“withŽ¤ <.‘âno–ˆã uctuations“in“the“transfer.“The“amplitude“µD‘вof“theŽ¡‘âdeterministic–Çapart“is“a“measure“of“the“e ectiv¸ãeness“ofŽ¡‘âenergy–]`transfer.“On“the“other“hand“µR‘q'²measures“the“sizeŽ¡‘âof–•r uctuations.“In“[20]“it“is“sho¸ãwn“that“a“ nite“µR‘©9²necessa-Ž¡‘ârily–^Èleads“to“inš¸ãtermittency“corrections“in“the“expGonen˜ts.Ž¡‘âIn–the“next“section“w¸ãe“are“going“to“determine“the“moGdelŽ¡‘âparameters–Rðfor“the“t•¸ãw“o–RðREW‘þãA“cascades“w¸ãe“are“conside-Ž¡‘âring.ŽŸÖY‘âßA•‡cknowxäle“dgements.ŽŽ‘4wÓW‘ÿ:«e–Û™are“grateful“to“R.“Graham“for“usefulŽ¤ ³8‘âdiscussions–áand“to“J.“Krug“for“commenš¾9ts“on“the“man˜uscript.Ž¡‘âThis–‚Êwš¾9ork“is“suppAÇorted“b˜y“the“Sonderforsc˜h˜ungsbAÇereic˜h“237Ž¡‘â(Unordn¾9ung–Tund“grosse“Fluktuationen).ŽŸ"d1‘âºReferencesŽŸŸ ‘æŸþÓ1.ŽŽ‘òÑÂA.–ÔiN.“Kolmogoro¾9v,“C.“R.“Ak‘ÿ|rad.“Nauk“SSSR‘Óöâ30Ó,“301Ž¡‘òÑÂ(1941);–+‘C.“R.“Ak‘ÿ|rad.“Nauk“SSSR‘*ƒâ31Ó,“538“(1941);Ž¡‘òÑÂC.–TR.“Ak‘ÿ|rad.“Nauk“SSSR“â32Ó,“16“(1941)Ž© ÖY‘æŸþ2.ŽŽ‘òÑÂL.– ¶D.“Landau“and“E.“M.“Lifshitz,“Fluid“Mecš¾9hanics“(P˜er-Ž¡‘òÑÂgamon,–TOxford,“1959;“third“edition,“1984)Ž¦‘æŸþ3.ŽŽ‘òÑÂA.–TN.“Kolmogoroš¾9v,“J.“Fluid“Mec˜h.“â13Ó,“83“(1962)Ž¦‘æŸþ4.ŽŽ‘òÑÂA.–TM.“Obukhoš¾9v,“J.“Fluid“Mec˜h.“â13Ó,“77“(1962)Ž¦‘æŸþ5.ŽŽ‘òÑÂF.–Ô]Anselmet,“Y.“Gagne,“E.“J.“Hop nger“and“R.“An¾9tonia,Ž¡‘òÑÂJ.–TFluid“Mec¾9h.“â140Ó,“63“(1984)Ž¦‘æŸþ6.ŽŽ‘òÑÂR.–NHBenzi,“S.“CilibAÇerto,“R.“T‘ÿ:«ripiccione,“C.“Baudet,“F.“Mas-Ž¡‘òÑÂsaioli–Tand“S.“Succi,“Ph¾9ys.“Rev.“E“â48Ó,“R29“(1993)Ž¦‘æŸþ7.ŽŽ‘òÑÂR.–‹KBenzi,“S.“CilibAÇerto,“C.“Baudet,“G.“R.“Cha¾9v‘ÿ|rarria“andŽ¡‘òÑÂR.–TT‘ÿ:«ripiccione,“Europh¾9ys.“Lett.“â24Ó,“275“(1993)Ž¦‘æŸþ8.ŽŽ‘òÑÂJ.–9Herwš¾9eijer“and“W.“v‘ÿ|ran“de“W‘ÿ:«ater,“Ph˜ys.“Rev.“Lett.“â74Ó,Ž¡‘òÑÂ4651‘T(1995)Ž¦‘æŸþ9.ŽŽ‘òÑÂB.–¹CCastaing,“Y.“Gagne“and“E.“J.“Hop nger,“Ph¾9ysica“DŽ¡‘òÑÂâ46Ó,–T177“(1990)Ž¦‘â10.ŽŽ‘òÑÂM.–TNelkin,“J.“Stat.“Ph¾9ys.“â54Ó,“1“(1989)Ž¦‘â11.ŽŽ‘òÑÂS.–ç³Douady‘ÿ:«,“Y.“Couder,“and“M.“E.“Bracš¾9het,“Ph˜ys.“Rev.Ž¡‘òÑÂLett.–Tâ67Ó,“983“(1991)Ž¦‘â12.ŽŽ‘òÑÂS.–êøKida“and“K.“Ohkitanš¾9y‘ÿ:«,“Ph˜ys.“Fluids“A‘êíâ4Ó,“1018“(1992)Ž¦‘â13.ŽŽ‘òÑÂH.–ÊêK.“Mo att,“S.“Kida,“and“K.“Ohkitanš¾9y‘ÿ:«,“J.“Fluid“Mec˜h.Ž¡‘òÑÂâ259Ó,–T241“(1994)Ž¦‘â14.ŽŽ‘òÑÂJ.–1Jim¾ª‘û¡Xenez,“A.“A.“W–ÿ:«ra¾9y“,›1P“.˜G.˜Sa man,˜and˜R.˜S.˜Rogallo,Ž¡‘òÑÂJ.–TFluid“Mec¾9h.“â255Ó,“65“(1993)Ž¦‘â15.ŽŽ‘òÑÂZ.-S.–$äShe“and“E.“Levš¾9eque,“Ph˜ys.“Rev.“Lett.“â72Ó,“336“(1994)Ž¦‘â16.ŽŽ‘òÑÂV.››HL'v•¾9o“v˜and˜I.˜ProAÇcaccia,˜Ph“ys.˜Rev.˜E‘›)â52Ó,˜3840˜(1995);Ž¡‘òÑÂPh¾9ys.–TRev.“E“â52Ó,“3858“(1995)Ž¦‘â17.ŽŽ‘òÑÂJ.–œšEggers“and“S.“Grossmann,“Ph¾9ys.“Fluids“A‘œ5â3Ó,“1958Ž¡‘òÑÂ(1991)Ž¦‘â18.ŽŽ‘òÑÂS.–TGrossmann“and“D.“Lohse,“Ph¾9ys.“Fluids“â6Ó,“611“(1994)Ž¦‘â19.ŽŽ‘òÑÂJ.–TEggers,“Ph¾9ys.“Rev.“A“â46Ó,“1951“(1992)Ž¦‘â20.ŽŽ‘òÑÂJ.–TEggers,“Ph¾9ys.“Rev.“E“â50Ó,“285“(1994)Ž¦‘â21.ŽŽ‘òÑÂJ.–ð@A.“Domaradzki“and“W.“Liu,“Ph¾9ys.“Fluids“â7Ó,“2025Ž¡‘òÑÂ(1995)Ž¦‘â22.ŽŽ‘òÑÂA.–TM.“Obukhoš¾9v,“A˜tmos.“Ocean.“Ph˜ys.“â7Ó,“471“(1971)Ž¦‘â23.ŽŽ‘òÑÂE.–TB.“Gledzer,“Soš¾9v.“Ph˜ys.“Dokl.“â18Ó,“216“(1973)Ž¦‘â24.ŽŽ‘òÑÂM.–tmY‘ÿ:«amada“and“K.“Ohkitami,“J.“Ph¾9ys.“SoAÇc.“Jpn“â56Ó,“4210Ž¡‘òÑÂ(1987)ŽŽŽ ý]1É’é!M25.ŽŽ’ùóS.–~ÿGrossmann“and“D.“Lohse,“Europh¾9ys.“Lett.“â21Ó,“201Ž¤ ³8’ùó(1993)Ž¡’é!M26.ŽŽ’ùóS.–'Grossmann,“D.“Lohse,“and“A.“Reeh,“Ph¾9ys.“Rev.“Lett.Ž¡’ùóâ77Ó,–T5369“(1996)Ž¡’é!M27.ŽŽ’ùóJ.–ŒEggers“and“S.“Grossmann,“Ph¾9ys.“Lett.“A‘‹±â156Ó,“444Ž¡’ùó(1991)Ž¡’é!M28.ŽŽ’ùóM.–TF‘ÿ:«arge,“Ann.“Rev.“Fluid“Mec¾9h.“â24Ó,“395“(1992)Ž¡’é!M29.ŽŽ’ùóC.–TMenevš¾9eau,“J.“Fluid“Mec˜h.“â232Ó,“469“(1991)Ž¡’é!M30.ŽŽ’ùóP‘ÿ:«.–©¦L.“Garrido,“J.“L.“LebšAÇo¾9witz,“C.“Maes,“and“H.“Sp˜ohn,Ž¡’ùóPh¾9ysical–TRev.“A“â42Ó,“1954“(1990)Ž¡’é!M31.ŽŽ’ùóC.–ù4W.“Gardiner,“Handb•AÇo“ok–ù4of“StošAÇc¾9hastic“Metho˜dsŽ¡’ùó(Springer,–TBerlin,“1983)Ž¡’é!M32.ŽŽ’ùóR.–TH.“Kraicš¾9hnan,“J.“Fluid“Mec˜h.“â59Ó,“745“(1973)Ž¡’é!M33.ŽŽ’ùóS.–ÀOrszag,“\Lectures“on“the“Statistical“Theory“of“T‘ÿ:«ur-Ž¡’ùóbulence"–»`in:“Fluid“Dynamics“1973,“Les“Houc¾9hes“SummerŽ¡’ùóScš¾9hoAÇol–Ç8of“Theoretical“Ph˜ysics,“edited“b˜y“R.“Balian“andŽ¡’ùóJ.–TL.“Pš¾9eubAÇe“(Gordon“and“Breac˜h,“1977)Ž¡’é!M34.ŽŽ’ùóH.–ÒT›ÿ:«ennek¾9es“and“J.“L.“Lumley˜,“A‘ÒFirst“Course“in“T˜urbu-Ž¡’ùólence–T(MIT“Press,“6th“ed.,“1980)Ž¡’é!M35.ŽŽ’ùóS.–TGrossmann“and“D.“Lohse,“Z.“Ph¾9ys.“B“â89Ó,“11“(1992)Ž¡’é!M36.ŽŽ’ùóW.–ΘH.“Press,“S.“A.“T–ÿ:«euk¾9olsky“,–ΘW.“T.“V‘ÿ:«etterling,“andŽ¡’ùóB.–¯¬P›ÿ:«.“Flannery˜,“Numerical“RecipAÇes“(Camš¾9bridge“Univ˜er-Ž¡’ùósit¾9y–TPress,“2nd“edition,“1986)Ž¡’é!M37.ŽŽ’ùóR.–+M.“Kerr“and“E.“D.“Siggia,“J.“Stat.“Ph¾9ys.“â19Ó,“543“(1978)Ž¡’é!M38.ŽŽ’ùóP›ÿ:«.–eK.“Y˜eung“and“S.“B.“Pš¾9opAÇe,“J.“Fluid“Mec˜h.“â207Ó,“531Ž¡’ùó(1989)Ž¡’é!M39.ŽŽ’ùóR.–TH.“Kraicš¾9hnan,“J.“Fluid“Mec˜h.“â62Ó,“305“(1974)Ž¡’é!M40.ŽŽ’ùóC.–ÔUUhlig“and“J.“Eggers,“Z.“Ph¾9ys.“B,“to“bAÇe“publishedŽ¡’ùó(1997)Ž¡’é!M41.ŽŽ’ùóA.–TJ.“Ma‘ƒŽjda,“SIAM“Review“â33Ó,“349“(1990)Ž¡’é!M42.ŽŽ’ùóP‘ÿ:«.–TOlla,“Ph¾9ys.“Fluids“â7Ó,“1598“(1995)Ž¡’é!M43.ŽŽ’ùóC.–TUhlig“and“J.“Eggers,“unpublished“man¾9uscript“(1994)Ž¡’é!M44.ŽŽ’ùóE.–TD.“Siggia,“Ph¾9ys.“Rev.“A“â15Ó,“1730“(1977)Ž¡’é!M45.ŽŽ’ùóM.–˜íH.“Jensen,“G.“Pš¾9aladin,“and“A.“V‘ÿ:«ulpiani,“Ph˜ys.“Rev.Ž¡’ùóA–Tâ43Ó,“798“(1991)Ž¡’é!M46.ŽŽ’ùóR.–TBenzi“et“al,“Ph¾9ys.“Fluids“â7Ó,“617“(1995)Ž¡’é!M47.ŽŽ’ùóR.–„bBenzi,“L.“Biferale,“and“G.“Pš¾9arisi,“Ph˜ysica“D‘„Eâ65Ó,“163Ž¡’ùó(1993)ŽŸ6$’é!MâSon–d Pham“Óis–curren¾9tly“a“professor“of“Computer“Science,“Col-Ž¡’é!Mlege–iÌof“Engineering“and“Computer“Science“at“the“CaliforniaŽ¡’é!MState›–âUniv•¾9ersit“y˜at˜Northridge.˜His˜researc“h˜in“terests˜includeŽ¡’é!MComputer–+`Graphics“and“Soft•¾9w“are–+`Engineering.“He“has“pu-Ž¡’é!Mblished–4àa“dozen“refereed“academic/tec¾9hnical“papAÇers“in“Com-Ž¡’é!Mputer–«ÍScience.“He“is“a“memš¾9bAÇer“of“A˜CM.“Pham“receiv˜ed“hisŽ¡’é!MBA‘*in–.Mathematics“from“the“Univ•¾9ersit“y–.of“Saigon,“VietNamŽ¡’é!Min–áŸ1973;“MA‘ákin“Mathematics“from“Univ•¾9ersit“y–áŸof“Louisville,Ž¡’é!MKen•¾9tuc“ky–yin“1975;“Ph.D.“in“Statistics“from“the“Univ•¾9ersit“y‘yofŽ¡’é!MCincinnati,–èîOhio“in“1978;“and“PD‘èãin“Computer“Science“fromŽ¡’é!Mthe›TUniv•¾9ersit“y˜of˜California,˜Berk“eley˜in˜1980.ŽŽŽŽŽŽŒ‹‹è Þ·¬ ý#HT‘âÓC.–TUhlig“et“al.:“LošAÇcal“coupling“of“shell“mo˜dels“leads“to“anomalous“scalingŽ’Ø`7ŽŽŽ ¾·¬ ý]1É‘ââMel–+ŠSlater“Ójoined–}the“Departmen¾9t“of“Computer“Science,Ž¤ ³8‘âQueen–JMary“and“W‘ÿ:«est eld“College“(Univ•¾9ersit“y–Jof“London)Ž¡‘âin–wz1981.“Since“1982“he“has“bAÇeen“in•¾9v“olv“ed–wzin“teac¾9hing“andŽ¡‘âresearc¾9h–GÝin“computer“graphics.“He“proAÇduced“an“early“imple-Ž¡‘âmenš¾9tation–Wáof“the“GKS‘W±graphics“standard,“and“w˜as“in˜v˜olv˜ed“inŽ¡‘âthe–í±ISO‘í§graphics“group,“with“respAÇonsibilit¾9y“for“the“P‘ÿ:«ASCALŽ¡‘âlanguage–ë»binding“to“GKS.“He“co-authored“an“undergraduateŽ¡‘âtextb•AÇo“ok–Ržon“computer“graphics,“whicš¾9h“w˜as“published“in“1987.Ž¡‘âHe–yis“a“principal“in•¾9v“estigator–yin“sevš¾9eral“funded“researc˜h“pro-Ž¡‘âjects,–¨sin“particular“the“EuropAÇean“Comm•¾9unit“y‘¨sESPRIT‘¨Mfun-Ž¡‘âded–ÆÒSPIRIT‘ƤW‘ÿ:«orkstation“pro›ƒŽject,“and“a“pro˜ject“on“VirtualŽ¡‘âRealitš¾9y–…©with“the“London“P˜arallel“Applications“Cen˜tre.“HeŽ¡‘âw¾9as–Ìvisiting“professor“in“the“Computer“Science“Division“ofŽ¡‘âElectrical–÷âEngineering“and“Computer“Sciences,“Univ•¾9ersit“y‘÷âofŽ¡‘âCalifornia–”½at“Berk¾9eley“in“the“spring“semesters“1991“and“1992.ŽŸ!+•‘ââW.–ìKenneth“Stew´Cart“Óis– ãan“assistanš¾9t“scien˜tist“at“the“DeepŽ¡‘âSubmergence–WpLabšAÇoratory“of“the“W‘ÿ:«o˜o˜ds“Hole“OceanographicŽ¡‘âInstitution.–Õ¿His“researcš¾9h“in˜terests“include“underw˜ater“robAÇo-Ž¡‘âtics,– 0autonomous“vš¾9ehicles“and“smart“R˜O˜Vs,“m˜ultisensor“mo-Ž¡‘âdeling,–ñÌreal-time“acoustic“and“optical“imaging,“and“preci-Ž¡‘âsion–~Nunderwš¾9ater“surv˜eying.“Stew˜art“has“bAÇeen“going“to“seaŽ¡‘âon–>oAÇceanographic“researcš¾9h“v˜essels“for“19“y˜ears,“has“dev˜elopAÇedŽ¡‘âacoustic–â^sensors“and“remotely-opAÇerated“v¾9ehicles“for“6000-mŽ¡‘âdepths,–®and“has“made“sevš¾9eral“deep“div˜es“in“manned“sub-Ž¡‘âmersibles,–kÚincluding“a“4000-m“excursion“to“the“ßUSS‘ªTitanicŽ¡‘âÓin–-1986.“He“is“a“memš¾9bAÇer“of“the“Marine“T‘ÿ:«ec˜hnology“SoAÇciet˜y‘ÿ:«,Ž¡‘âOceanograph•¾9y›… SoAÇciet“y‘ÿ:«,˜IEEE‘„ïComputer˜SoAÇciet“y‘ÿ:«,˜A“CM‘„ïSIG-Ž¡‘âGRAPH,–ÿ„and“NCGA.“Stewš¾9art“receiv˜ed“a“PhD‘ÿ~in“oAÇceanogra-Ž¡‘âphic–œengineering“from“the“Massac•¾9h“usetts–œInstitute“of“T‘ÿ:«ec¾9hno-Ž¡‘âlogy–ºHand“W‘ÿ:«o•AÇo“ds–ºHHole“Oceanographic“Institution“Join¾9t“Pro-Ž¡‘âgram– \in“1988,“a“BS‘ in“oAÇcean“engineering“from“Florida“A•¾9tlan“ticŽ¡‘âUniv•¾9ersit“y–®in“1982,“and“an“AAS‘‹in“marine“tec¾9hnology“fromŽ¡‘âCapAÇe–TF›ÿ:«ear“T˜ec¾9hnical“Institute“in“1972.ŽŽŽŽŽŽŒø§[ƒ’À;èÞ·¬Ýó7t ‰: cmbx9ó6«-Œhcmbx5ó5ßê cmmi10ó 0e—rcmmi7óO Ú\cmmi5óKñ`y cmr10óÙ“ Rcmr7ó†›Zcmr5óú±u cmex10ù±Øßßßßß