÷ƒ’À;è TeX output 1997.12.10:1018‹ÿÿÿÿ è(À ý×@ È(À ýÁÔŸˆºáŸòñË‘âŸåt›‰ffŸ$ÿ„$ÿffŸïÌÈ‘óò"V cmbx10¹GRANMA–ÕTman®9uscript“No.ŽŸ ³8‘óKñ`y cmr10²(will–UUbGe“inserted“b¸ãy“the“editor)ŽŽ’ÿ34„$ÿffŽžff‰ffŽŽŽŸa‘âóñkAHG® cmssbx10¼A–VF›ÿxÔast“Mo‘‡+del“fo˜r“the“Simulation“of“Non-round“P˜a˜rticlesŽŸyŸ‘â¹Alexander–ÕTV.“P•®9otapšQÇo“v–ÕTand“Charles“S.“Campb˜ellŽŸFñŸŽ >ú, ýßÔ‘âAbstractŽŽ‘J²This–bApapšGer“describ˜es“a“new,“computationallyŽ¤ <.‘âecienš¸ãt–ámoGdel“for“the“discrete“elemen˜t“sim˜ulation“of“aŽ¡‘âcertain–™ãclass“of“non-round“particles.“The“bGoundaries“of“theŽ¡‘âparticles–ôŽin“this“moGdel“are“constructed“from“the“circularŽ¡‘âsegmenš¸ãts–&Ðof“di eren˜t“radii“in“suc˜h“a“w˜a˜y“that“connectionsŽ¡‘âbGet•¸ãw“een–S«these“segmenš¸ãts“are“con˜tin˜uous.“As“suc˜h,“the“mo-Ž¡‘âdel–došGes“not“p˜ermit“the“sim¸ãulation“of“arbitrarily“shap˜edŽ¡‘âparticles,–qbut“it“doGes“alloš¸ãw“a“wide“enough“v‘ÿqÇariet˜y“of“sha-Ž¡‘âpšGes–bto“assess“the“e ects“of“non-round“shap˜es“(in“particular,Ž¡‘âparticle›“ßin•¸ãterloGc“king)˜in˜an˜ecien“t˜maner.˜A‘“®direct˜test˜ofŽ¡‘âthe–» mošGdel's“p˜erformance“demonstrates“that“the“mo˜del“isŽ¡‘âm•¸ãuc“h–÷8more“ecien¸ãt“than“other“moGdels“for“non-round“par-Ž¡‘âticles–Ccurrenš¸ãtly“a˜v‘ÿqÇailable“and“is“less“than“t˜w˜o“times“slo˜w˜erŽ¡‘âthan–UUmošGdels“for“the“same“n•¸ãum“b˜er–UUof“round“particles.ŽŸ!c\‘âóñkAH cmssbx10Ä1Ž¡‘âIntroN9ductionŽŸ<.‘â²In–—recenš¸ãt“y˜ears,“soft“particle“discrete“elemen˜t“sim˜ulati-Ž¡‘âons›Œ½ha•¸ãv“e˜prov“en˜to˜b•Ge˜a˜p“o•¸ãw“erful˜toGol˜for˜in“v“estigatingŽ¡‘âthe–ŠÇbGehaš¸ãvior“of“gran˜ular“systems.“All“of“these“sim˜ulati-Ž¡‘âons–vU(see“the“reviews“in“[1,‘2])“follo¸ãw“individual“particlesŽ¡‘âas–Êthey“mo•¸ãv“e,–Êrotate“and“inš¸ãteract“with“their“neigh˜bGors.“InŽ¡‘âa–Èreal“gran¸ãular“system“the“forces“generated“when“partic-Ž¡‘âles–‰are“in“conš¸ãtact“result“in“small“c˜hanges“in“the“particleŽ¡‘âshapšGe,–—}particularly“around“the“p˜oinš¸ãts“of“con˜tact.“Ho˜w˜ev˜er,Ž¡‘âin–´Žthe“simš¸ãulation,“it“is“generally“assumed“for“simplicit˜y'sŽ¡‘âsakš¸ãe,–uqthat“individual“particles“do“not“c˜hange“shapGe.“In-Ž¡‘âstead–‚Çtheir“surfaces“are“allo•¸ãw“ed–‚Çto“o•¸ãv“erlap›‚Çsligh“tly˜and,Ž¡‘âin–8an“appro¸ãximation“of“the“true“elastic“respGonse,“generateŽ¡‘âa– )repulsivš¸ãe“respGonse“whic˜h“is“a“function“of“that“o˜v˜erlap.Ž¡‘âVirtually–JHanš¸ãy“imaginable“depGendence“of“the“con˜tact“forceŽ¡‘âon–ñàthe“o•¸ãv“erlap›ñàma“y˜b•Ge˜incorp“orated˜in¸ãto˜the˜mo“del,˜e.g.Ž¡‘âsimple–UUlinear“elastic,“Hertzian“or“some“other.Ž¡‘ñA•¸ãt›¦presen“t˜time,˜the˜ma‘Ž8jorit“y˜of˜the˜soft˜particle˜dis-Ž¡‘âcrete–8ãelemenš¸ãt“sim˜ulations“ha˜v˜e“bšGeen“p˜erformed“using“roundŽ¡‘âparticles–tÌfor“bGoth“t•¸ãw“o-dimensional–tÌand“three-dimensionalŽ¡‘âsystems–ê [1,‘2].“The“round“shapGe“is“vš¸ãery“easy“to“sim˜ulate“inŽ¡‘âthe–£¥sense“that“evš¸ãery“pGoin˜t“on“its“surface“can“bGe“determi-Ž¡‘âned–‘'simply“bš¸ãy“kno˜wing“the“pGosition“of“the“cen˜ter“and“itsŽ¡‘âdiameter;–âin“particular,“there“is“no“depGendence“on“the“ori-Ž¡‘âen¸ãtation– gof“the“particle.“As“a“result,“it“is“easy“to“determineŽ¡‘âthe›Éäo•¸ãv“erlap˜bGet“w“een˜t“w“o˜particles˜simply˜as˜the˜distanceŽ¡‘âbGet•¸ãw“een–¢ïtheir“cenš¸ãters“min˜us“the“sum“of“their“radii.“Also,“itŽ‘âŸ/–‰ffúO8Ÿ ™šóo´‹Ç cmr9½Alexander–TV.“P•¾9otapšAÇo“v–Tand“Charles“S.“Campb˜ellŽŸDepartmenš¾9t–Tof“Mec˜hanical“EngineeringŽ¤ ³8Univ•¾9ersit“y–Tof“Southern“CaliforniaŽ¡Los–TAngeles,“Ca.“90089-1453,“USAŽŽŽ ýßÔ’ç°È²reduces–g¿memory“requiremenš¸ãts“as“only“the“cen˜ter“pGositionŽ¤ <.’ç°Èneed–UUbGe“stored.Ž©ô’ö°ÈHo•¸ãw“ev“er–fVthe“use“of“round“particles“has“sev¸ãeral“limita-Ž¡’ç°Ètions.–Nearly“all“natural“particles“are“not“round,“a“qualit¸ãyŽ¡’ç°Èwhicš¸ãh–V9is“shared“ev˜en“b˜y“arti cial“particles“that“are“in˜ten-Ž¡’ç°Èded–'9to“bšGe“round“(e.g.“commercial“glass“b˜eads).“F‘ÿ*ªurther-Ž¡’ç°Èmore,–Cªnon-round“particle“shapGe“can“create“a“v‘ÿqÇast“di erenceŽ¡’ç°Èin–«Žthe“mecš¸ãhanical“bGeha˜vior“bGecause“they“do“not“roll“easily‘ÿ*ª.Ž¡’ç°ÈF‘ÿ*ªor–ŽXexample,“bulk“materials“compGosed“of“round“particlesŽ¡’ç°Èha•¸ãv“e–Kóangles“of“repGose“that“are“m•¸ãuc“h–Kósmaller“than“natu-Ž¡’ç°Èral–materials“(see,“for“example“[3]).“One“solution“to“thisŽ¡’ç°Èproblem–’.is“to“not“allo¸ãw“the“particles“to“rotate“at“all,“butŽ¡’ç°Èinstead–Ôqin¸ãteract“only“frictionally‘ÿ*ª.“Realistic“angles“of“re-Ž¡’ç°ÈpšGose–Ýma¸ãy“b˜e“obtained“using“this“tec¸ãhnique,“but“it“in“noŽ¡’ç°Èw•¸ãa“y–]clear“that“the“resulting“material“accurately“sim¸ãulatesŽ¡’ç°Èall–§9the“e ects“of“non-round“particles.“In“particular,“reali-Ž¡’ç°Èstic–öUparticles“maš¸ãy“in˜terloGc˜k“with“one“another“and“proGduceŽ¡’ç°ÈbšGeha¸ãvior–8ÿthat“cannot“b˜e“approš¸ãximated“b˜y“a“simple“fric-Ž¡’ç°Ètion–¨at“the“surface“of“round“particles.“Another“tec¸ãhniqueŽ¡’ç°Èis–¼3to“in¸ãtrošGduce“the“sp˜ecial“force“term“[4]“to“accoun¸ãt“for“theŽ¡’ç°ÈCoulom•¸ãb's››gla“w˜bGeha“vior˜commonly˜assoGciated˜with˜gran“u-Ž¡’ç°Èlar–¶Umaterials,“but“this“mo•¸ãv“es–¶Uthe“simš¸ãulation“ev˜en“fartherŽ¡’ç°Èfrom–UUreal“situation.Ž¦’ö°ÈThe–)/most“natural“solution“for“this“problem“is“to“useŽ¡’ç°Èparticles–z‘that“are“not“round.“Sevš¸ãeral“suc˜h“moGdel“ha˜v˜e“bGeenŽ¡’ç°ÈpropšGosed.–In“general“they“can“b˜e“divided“inš¸ãto“t˜w˜o“classes.Ž¡’ç°ÈIn–‚the“ rst,“an“analytic“represen¸ãtation“of“the“shapGe“of“aŽ¡’ç°Èparticle–Ë·is“used“for“whic¸ãh“it“is“pGossible“to“simplify“the“con-Ž¡’ç°Ètact– þand“o•¸ãv“erlap– þdeterminations.“F‘ÿ*ªor“example,“algorithmsŽ¡’ç°Èha•¸ãv“e–IãbšGeen“dev¸ãelop˜ed“for“particles“with“elliptic“(e.g.“[5{8])Ž¡’ç°Èor–#supšGerquadric“(e.g.“[9,‘10])“shap˜es“(the“sup˜erquadric“par-Ž¡’ç°Èticle–*ÄshapšGe“is“describ˜ed“b¸ãy“the“same“equation“as“ellipticŽ¡’ç°Èone–Xúwith“the“only“di erence“is“that“the“degree“is“abGo•¸ãv“eŽ¡’ç°Èt•¸ãw“o).›ŽSuc“h˜particle˜can˜in“terloGc“k˜lik“e˜real˜materials,˜butŽ¡’ç°Èthey–Udo“not“resem¸ãble“natural“materials.“Also,“aspGect“ra-Ž¡’ç°Ètios–yfor“elliptical“particles“mš¸ãust“bGe“signi can˜tly“di eren˜tŽ¡’ç°Èfrom–yÇunit¸ãy“in“order“to“obtain“realistic“angles“of“repGose,Ž¡’ç°Èwhic•¸ãh›Yama“y˜presen“t˜other˜problems˜as˜the˜ma‘Ž8jorit“y˜of˜natu-Ž¡’ç°Èral–;[granš¸ãular“materials“ha˜v˜e“aspGect“ratios“that“are“close“toŽ¡’ç°Èunitš¸ãy‘ÿ*ª.‘ àThe–® second“t˜ypšGe“of“mo˜del“assumes“that“the“partic-Ž¡’ç°Èles–íìare“in“the“shapšGes“of“arbitrary“con•¸ãv“ex–íìp˜olygons“[11{15].Ž¡’ç°È(Sucš¸ãh–­a“moGdel“forms“the“basis“of“the“fracture“sim˜ulati-Ž¡’ç°Èons–hÂpresen¸ãted“in“[16{19].)“More“realistic“loGoking“particlesŽ¡’ç°Èma¸ãy–ÏbGe“created“in“this“manner,“but“at“tremendous“com-Ž¡’ç°Èputational–'8costs.“Pš¸ãolygonal“sim˜ulations“can“tak˜e“up“to“anŽ¡’ç°Èorder–ªof“magnitude“more“computer“time“than“their“roundŽ¡’ç°Ècounš¸ãterparts.–­°F‘ÿ*ªor“analytically“represen˜ted“particle“shapGes,Ž¡’ç°È(elliptic–öUor“supGerquadric“cases)“the“ma‘Ž8jorit¸ãy“of“the“com-Ž¡’ç°Èputer–-ítime“is“spGenš¸ãt“in“iterativ˜e“solutions“of“the“non-linearŽŽŽŽŽŽŽŒ‹* è(À ý×@‘â½2ŽŽŽ È(À þŒ þŸ›³ ‘â ÿ"®ïMps::[begin] 16404280 14548818 11117117 17892638 29141319 33877606 startTexFigïps: plotfile p1.psïps::[end] endTexFigŽŽŽŸ ³8‘âót ‰: cmbx9ÅFig.–™1.“½The–þÃpicture“of“a“tš¾9ypical“o˜v‘ÿ|ral.“The“bAÇoundary“of“thisŽ¤ ³8‘âoš¾9v‘ÿ|ral–Ížconsists“of“four“arc˜hes“dra˜wn“around“pAÇoin˜ts“ó5ùž" cmmi9¿OŸÿÿó¹Aa¨cmr6¾1Ž›*§½,“¿OŸÿÿ¾2Ž˜½,“¿OŸÿÿ¾3ŽŽ¡‘â½and–¾_¿OŸÿÿ¾4Ž‘*§½,“arcš¾9hes“dra˜wn“around“pAÇoin˜ts“¿OŸÿÿ¾1Ž›é½and“¿OŸÿÿ¾3Ž˜½ha•¾9v“e–¾_the“sameŽ¡‘âradius–°Kand“angles“¿ Ÿÿÿ¾1Ž›Úò½and“¿ Ÿÿÿ¾3Ž˜½are“the“same.“The“same“is“trueŽ¡‘âabAÇout–k_the“arcš¾9hes“dra˜wn“around“pAÇoin˜ts“¿OŸÿÿ¾2Ž›–½and“¿OŸÿÿ¾4Ž˜½and“anglesŽ¡‘â¿ Ÿÿÿ¾2Ž›ns½and–CÌ¿ Ÿÿÿ¾4Ž‘*§½.“P•¾9oin“ts–CÌ¿OŸÿÿ¾1Ž˜½and“¿OŸÿÿ¾3Ž˜½are“situated“in“sucš¾9h“a“w˜a˜y“thatŽ¡‘âline–Œconnecting“these“pAÇoinš¾9ts“pass“through“the“cen˜ter“of“an“o˜v‘ÿ|ral,Ž¡‘âthe–aÜsame“is“true“abšAÇout“the“line“connecting“the“p˜oin¾9ts“¿OŸÿÿ¾2Ž‘Œƒ½andŽ¡‘â¿OŸÿÿ¾4Ž‘*§½.ŽŽŸ ë‘â²equations–«Žused“to“calculate“the“particle“o•¸ãv“erlap.–«ŽIn“the“pGo-Ž¤ <.‘âlygonal–FTsimš¸ãulations,“the“ma‘Ž8jorit˜y“of“the“computer“time“isŽ¡‘âspGenš¸ãt–4ôcalculating“in˜tersections“of“the“sides“of“con˜tactingŽ¡‘âpGolygons–Ö9whicš¸ãh“is“a“necessary“part“of“the“o˜v˜erlap“determi-Ž¡‘ânation.ŽŸ)4‘âÄ2ŽŸ ±¶‘âThe–ª¬Description“of“the“MoN9delŽŸ±¶‘â²Here–Þêwš¸ãe“propGose“a“soft“particle“discrete“elemen˜t“moGdel“forŽ¡‘âthe–g8simš¸ãulation“of“non-round“particles“whic˜h“exhibits“a“pGer-Ž¡‘âformance–#ªthat“is“comparable“to“the“pGerformance“of“roundŽ¡‘âparticle–mošGdels“and“is“able“to“accommo˜date“a“m•¸ãuc“h‘wi-Ž¡‘âder–Úv‘ÿqÇariet¸ãy“of“shapšGes“(and“more“realistic“shap˜es)“than“theŽ¡‘âelliptic–"Çor“supšGerquadric“mo˜dels.“The“idea“for“this“mo˜delŽ¡‘âwš¸ãas–‚xbGorn“from“the“w˜a˜y“the“ellipses“are“sometimes“appro-Ž¡‘âximated–ªÏin“tecš¸ãhnical“dra˜wings;“when“appropriate“ellipticalŽ¡‘âtemplates–@ãare“not“aš¸ãv‘ÿqÇailable,“an“o˜v‘ÿqÇal“with“the“same“aspGectŽ¡‘âratio–Çéis“often“used“to“approš¸ãximate“the“ellipse.“An“o˜v‘ÿqÇal“isŽ¡‘âgeometric–’i gure“whose“bGoundary“is“determined“b¸ãy“fourŽ¡‘âcircular–¶žarcš¸ãhes“of“t˜w˜o“di eren˜t“radii“whic˜h“are“joined“to-Ž¡‘âgether–¼in“a“con•¸ãtin“uous›¼w“a“y˜(i.e.˜the˜ rst˜deriv‘ÿqÇativ“e˜is˜con-Ž¡‘âtin•¸ãuous›‡6bGet“w“een˜the˜arc“hes)˜and˜th“us˜can˜bGe˜dra“wn˜withŽ¡‘âcompasses–„Žand“other“standard“toGols“used“to“dra¸ãw“circles.Ž¡‘âHo•¸ãw“ev“er,–‰it“is“pšGossible“to“generate“more“complex“shap˜es,Ž¡‘âman¸ãy–hÿnearly“pšGolygonal“in“shap˜e,“from“circular“arcš¸ãhes.“A˜tŽ¡‘âthe–½qsame“time,“the“determination“of“conš¸ãtact“and“o˜v˜erlapŽ¡‘âbGet•¸ãw“een›™ät“w“o˜circular˜arc“hes˜segmen“ts˜is˜nearly˜iden“tical˜toŽ¡‘âthe–ösame“proGcedures“for“circles.“Thš¸ãus“a“sim˜ulation“of“par-Ž¡‘âticles–Àgenerated“from“circular“arcš¸ãhes“will“allo˜w“a“v‘ÿqÇariet˜y“ofŽŽŽ þj5ÁŸ» °’ç°È ÿ$~DïLps::[begin] 16404280 14385596 7104430 14011514 32759316 36508876 startTexFigïps: plotfile p2.psïps::[end] endTexFigŽŽŽŸ ³8’ç°ÈÅFig.–;ä2.“½This–­jpicture“illustrates“the“proAÇcedure“of“the“calcula-Ž¤ ³8’ç°Ètion–”¾of“the“conš¾9tact“parameters“bAÇet˜w˜een“a“pair“of“o˜v‘ÿ|rals.“AfterŽ¡’ç°Èthe–Ótconš¾9tacting“arc˜hes“are“determined“(arc˜hes“correspAÇonding“toŽ¡’ç°Èangles–®§¿ Ÿÿÿ¾1Ž‘ÙN½and“¿ Ÿÿÿ¾2Ž‘*§½),“the“calculation“of“the“con¾9tact“parametersŽ¡’ç°Ècan–`bAÇe“carried“out“in“the“same“w•¾9a“y–`as“it“is“done“for“the“roundŽ¡’ç°Èparticles.ŽŽŸ T’ç°È²shapšGes–ìXto“b˜e“studied“at“only“a“small“computational“costŽ¤ <.’ç°ÈbGey¸ãond–UUthat“of“round“particles.Ž© =Ø’ö°ÈT‘ÿ*ªo–5illustrate“this“tecš¸ãhnique,“consider“the“t˜ypical“o˜v‘ÿqÇalŽ¡’ç°Èpresenš¸ãted–fÐin“Fig.“1.“The“bGoundary“consists“of“four“arc˜hesŽ¡’ç°Èdraš¸ãwn–b¦around“pGoin˜ts“ó  b> cmmi10µOŸÿóÙ“ Rcmr7±1Ž›|s²,“µOŸÿ±2Ž˜²,“µOŸÿ±3Ž‘ß²and“µOŸÿ±4Ž˜².“In“a“classicalŽ¡’ç°Èoš¸ãv‘ÿqÇal,–Ðthe“arc˜hes“dra˜wn“around“pGoin˜ts“µOŸÿ±1Ž›šC²and“µOŸÿ±3Ž˜²ha•¸ãv“e‘ÐtheŽ¡’ç°Èsame–×radius“(w¸ãe“shall“call“this“radius“\large")“and“theŽ¡’ç°Èangles–c:µ Ÿÿ±1Ž›ß­²and“µ Ÿÿ±3Ž˜²are“iden¸ãtical.“The“same“is“true“abGoutŽ¡’ç°Èthe–qºarcš¸ãhes“dra˜wn“around“pGoin˜ts“µOŸÿ±2Ž›î-²and“µOŸÿ±4Ž˜²(w¸ãe“shall“callŽ¡’ç°Èthis–`Pradius“\small")“and“the“angles“µ Ÿÿ±2Ž‘Üòand“µ Ÿÿ±4Ž‘|s².“P•¸ãoin“ts‘`PµOŸÿ±1ŽŽ¡’ç°È²and–\vµOŸÿ±3Ž‘Øé²are“situated“in“sucš¸ãh“a“w˜a˜y“that“line“connectingŽ¡’ç°Èthese–JÁpGoinš¸ãts“passes“through“the“cen˜ter“of“an“o˜v‘ÿqÇal,“as“doGesŽ¡’ç°Èthe–UUline“connecting“the“pGoin¸ãts“µOŸÿ±2Ž‘ÑȲand“µOŸÿ±4Ž‘|s².Ž¦’ö°ÈNoš¸ãw–««suppGose“that“w˜e“ha˜v˜e“a“gran˜ular“medium“con-Ž¡’ç°Èsisting–žUof“oš¸ãv‘ÿqÇal“shapGed“particles“whic˜h“will“bGe“sim˜ulatedŽ¡’ç°Èusing– Ðan“otherwise“standard“soft-particle“discrete“elemen¸ãtŽ¡’ç°ÈmoGdel.–{íT‘ÿ*ªo“do“this,“wš¸ãe“m˜ust“at“ev˜ery“time“step“ nd“the“par-Ž¡’ç°Èticles–whicš¸ãh“are“o˜v˜erlapping,“calculate“the“distance“of“thisŽ¡’ç°Èo•¸ãv“erlap–—and“determine“the“cenš¸ãter“of“this“o˜v˜erlap“in“orderŽ¡’ç°Èto–q6knoš¸ãw“the“pGoin˜t“at“whic˜h“con˜tact“forces“are“to“bGe“appliedŽ¡’ç°Èto–áIthe“conš¸ãtacting“particles.“Let“us“suppGose“that“w˜e“ha˜v˜eŽ¡’ç°Èa–P>conš¸ãtact“bGet˜w˜een“t˜w˜o“o˜v‘ÿqÇals“as“is“sho˜wn“in“Fig.“2.“An˜yŽ¡’ç°ÈpGossible–o‚conš¸ãtact“m˜ust“ošGccur“b˜et•¸ãw“een–o‚the“arcš¸ãh“of“one“o˜v‘ÿqÇalŽ¡’ç°Èand–¿{the“arcš¸ãh“of“the“other“o˜v‘ÿqÇal.“This“t˜ypGe“of“con˜tact“can“bGeŽ¡’ç°Ètreated–öin“the“same“w•¸ãa“y–öas“the“conš¸ãtact“of“the“t˜w˜o“circularŽ¡’ç°Èparticles.–¢Thš¸ãus“the“o˜v˜erlap“distance“is“simply“the“sum“ofŽ¡’ç°Èthe›±t•¸ãw“o˜radii˜of˜the˜con“tacting˜arc“hes˜min“us˜distance˜bGet-Ž¡’ç°Èwš¸ãeen–ç›the“pGoin˜ts“around“whic˜h“these“arc˜hes“are“dra˜wn“(i.e.Ž¡’ç°Èdistance›MubGet•¸ãw“een˜the˜pGoin“ts˜µOŸÿ±1Ž–Éè²and˜µOŸÿ±2Ž“²in˜Figure˜2).˜TheŽ¡’ç°Ècenš¸ãter–ä'of“the“o˜v˜erlap“lies“in“the“line“connecting“µOŸÿ±1Ž‘`š²and“µOŸÿ±2ŽŽ¡’ç°È²midw•¸ãa“y›ñàbGet“w“een˜the˜pGoin“ts˜of˜in“tersection˜of˜this˜line˜andŽ¡’ç°Èthe›UUt•¸ãw“o˜arc“hes˜(pGoin“t˜µC‘ q²in˜the˜Figure˜2).Ž¦’ö°ÈCompared–X—to“the“case“of“round“particles,“the“only“ad-Ž¡’ç°Èditional–ÊÇopGeration“whic¸ãh“is“required“here“is“to“determineŽŽŽŽŽŽŒ‹# è(À ý×@’Ý`½3ŽŽŽ È(ÀŸ þ†㟻 °‘â ÿ²"ïLps::[begin] 16404280 16403934 5328322 11248680 34930114 40850472 startTexFigïps: plotfile p3.psïps::[end] endTexFigŽŽŽŸ ³8‘âÅFig.–¾U3.“½Examples–bof“the“construction“of“the“particles“out“of“theŽ¤ ³8‘âarc•¾9hes›Ëýcon“tin“uously˜joined˜to˜eac“h˜other˜(the˜ rst˜deriv‘ÿ|rativ“e˜isŽ¡‘âthe–Jêsame“on“the“bAÇoth“sides“of“the“arcš¾9h“to“arc˜h“transition“pAÇoin˜t):Ž¡‘â(a)–‡Çapproš¾9ximation“of“a“triangle,“(b)“appro˜ximation“of“a“square,Ž¡‘â(c)–¶-approš¾9ximation“of“a“pAÇen˜tagon“and“(d)“appro˜ximation“of“aŽ¡‘âheptagon.ŽŽŸ(ð¹‘â²whicš¸ãh–„[of“the“arc˜hes“ma˜y“bGe“in˜v˜olv˜ed“in“the“con˜tact.“ThisŽ¤ <.‘âcan–v"bGe“carried“out“in“vš¸ãery“simple“and“e ectiv˜e“w˜a˜y‘ÿ*ª.“NoteŽ¡‘âthat›t•¸ãw“o˜o“v‘ÿqÇals˜can˜ha“v“e˜the˜con“tact˜along˜a˜pair˜of˜arc“hesŽ¡‘âif–"8and“only“if“the“line“connecting“the“pGoinš¸ãts“around“whic˜hŽ¡‘âthese–•larcš¸ãhes“are“dra˜wn“lies“within“the“limits“of“the“angleŽ¡‘âof–)ùbGoth“arc¸ãhes“(in“Figure“2“this“requires“determining“thatŽ¡‘âthe‘5¾line–šßµOŸÿ±1Ž‘|sµOŸÿ±2Ž›R²lies“bGet•¸ãw“een–šßangles“µ Ÿÿ±1Ž˜²and“µ Ÿÿ±2Ž‘|s²).“This“is“easyŽ¡‘âto›¶Øc•¸ãhec“k˜b“y˜calculating˜the˜dot˜proGducts˜of˜the˜unit˜v“ectorŽ¡‘âconnecting–=rthe“pGoinš¸ãts“around“whic˜h“the“arc˜hes“are“dra˜wnŽ¡‘âwith–œ†unit“v¸ãectors“of“the“bisectors“of“the“angles“of“the“ar-Ž¡‘âcš¸ãhes.–û[Plus,“the“dot“proGduct“of“the“v˜ector“connecting“theŽ¡‘âcenš¸ãters–Þêof“gra˜vit˜y“of“the“o˜v‘ÿqÇals“and“the“v˜ector“connectingŽ¡‘âthe–Ä×pGoinš¸ãts“around“whic˜h“the“arc˜hes“are“dra˜wn“should“bGeŽ¡‘âcalculated–kto“ensure,“bš¸ãy“its“sign,“that“the“pGoten˜tial“con-Ž¡‘âtacting–¬Žarcš¸ãhes“are“orien˜ted“to˜w˜ards“rather“than“a˜w˜a˜y“fromŽ¡‘âeac¸ãh–~Uother.“The“calculation“of“these“three“dot“proGductsŽ¡‘âis–lŽan“additional“computational“step“with“respGect“to“theŽ¡‘âcase–Ì.of“the“round“particles.“Ho•¸ãw“ev“er,–Ì.it“is“not“necessary“toŽ¡‘âpGerform–®all“three“calculations“at“eac¸ãh“time“step.“Since“theŽ¡‘âparticles–mÖdo“not“drastically“cš¸ãhange“their“orien˜tation“duringŽ¡‘âa–€single“time“step,“in“the“v‘ÿqÇast“ma‘Ž8jorit¸ãy“of“cases,“it“will“onlyŽ¡‘âbGe–necessary“to“c•¸ãhec“k–at“eac¸ãh“time“step“whether“the“sameŽ¡‘ât•¸ãw“o›Xarc“hes˜remain˜in˜con“tact.˜This˜means˜the˜calculationŽ¡‘âof–Íonly“the“ rst“t•¸ãw“o–Ídot“proGducts,“whic¸ãh“is“rather“fast“andŽ¡‘âstraigh•¸ãtforw“ard–áãproGcedure.“Also,“it“is“quite“likš¸ãely“that“an˜yŽ¡‘ât•¸ãw“o›Þarc“hes˜that˜are˜in˜con“tact,˜w“ere˜in˜con“tact˜during˜theŽ¡‘âprevious–à&time“step.“Consequenš¸ãtly‘ÿ*ª,“m˜uc˜h“computer“timeŽ¡‘âcan–¦bGe“sa•¸ãv“ed›¦b“y˜simply˜v“erifying˜that˜the˜con“tact˜con-Ž¡‘âtinš¸ãues–rÇon“subsequen˜t“time“steps.“The“calculation“of“theŽ¡‘âconš¸ãtacts–Óof“the“o˜v‘ÿqÇals“with“the“straigh˜t“bGoundary“w˜alls“isŽ¡‘âpGerformed–UUin“m•¸ãuc“h–UUthe“same“w•¸ãa“y‘ÿ*ª.ŽŽŽŽ ýSÀµ’ö°ÈThe–xmošGdel“describ˜ed“ab˜o•¸ãv“e–xis“easily“extended“b˜ey¸ãondŽ¤ <.’ç°Èthe–_´case“of“o¸ãv›ÿqÇals.“Ov˜als,“likš¸ãe“ellipses,“ha˜v˜e“the“disadv‘ÿqÇan˜tageŽ¡’ç°Èof–ÒÇrequiring“relativ¸ãely“large“aspGect“ratios“to“obtain“reali-Ž¡’ç°Èstic–jÄv‘ÿqÇalues“of“the“angles“of“repGose.“Muc¸ãh“more“complexŽ¡’ç°Èparticles–CBmaš¸ãy“bGe“constructed“in“the“same“w˜a˜y“the“o˜v‘ÿqÇalsŽ¡’ç°Èare–ÃBconstructed.“If“the“bGoundary“of“a“particle“consists“ofŽ¡’ç°Èan•¸ãy›C-n“um“bGer˜of˜arc“hes˜whic“h˜are˜con“tin“uously˜connectedŽ¡’ç°Ètogether,–»ªone“can“see“that“the“algorithm“for“determiningŽ¡’ç°Ècon¸ãtact–™ãas“describšGed“ab˜o•¸ãv“e–™ãstill“holds“true.“Some“examplesŽ¡’ç°Èof–™ðthis“sort“of“particles“are“presen¸ãted“in“Fig.“3.“F‘ÿ*ªor“theseŽ¡’ç°Èparticles,–-#a“large“radius“is“used“to“construct“the“\sides"Ž¡’ç°Èof–wŽthe“particles“and“a“smaller“radius“is“used“to“connec-Ž¡’ç°Èted–,Óthem“smoGothly“together“at“the“\v¸ãertices."“Clearly‘ÿ*ª,Ž¡’ç°Èone–ðcan“easily“construct“an“appro¸ãximation“to“a“triangle,Ž¡’ç°Èsquare,–;pGenš¸ãtagon“and“so“on,“and“one“can“get“v˜ery“closeŽ¡’ç°Èto–ÃBan“actual“pšGolygonal“shap˜e“as“one“wishes“b¸ãy“makingŽ¡’ç°Èthe–ýqcorrespGonding“radius“of“curv‘ÿqÇature“of“the“arc¸ãhes“thatŽ¡’ç°Èform–the“sides“v¸ãery“large“and“those“that“form“the“corners,Ž¡’ç°Èvš¸ãery–±small.“(This“proGcess“is“limited“only“b˜y“roundo “er-Ž¡’ç°Èrors–ôin“the“determination“of“the“o•¸ãv“erlap.–ôI.e.“as“the“o•¸ãv“erlapŽ¡’ç°Èis–Vycomputed“b¸ãy“taking“di erences,“high“accuracy“requiresŽ¡’ç°Èthat–pKits“magnitude“bGe“large“enough“relativ¸ãe“to“the“radiusŽ¡’ç°Èto–ôŽbGe“represenš¸ãted“b˜y“sev˜eral“n˜um˜bGer“signi can˜t“digits“inŽ¡’ç°Èits–´ó oating“pGoinš¸ãt“represen˜tation“within“the“computer.)“IfŽ¡’ç°Èthese–¾…particles“are“constructed“of“the“arcš¸ãhes“with“only“t˜w˜oŽ¡’ç°Èv‘ÿqÇalues–qUof“radii“as“it“wš¸ãas“done“for“the“o˜v‘ÿqÇal“and“all“of“the“sha-Ž¡’ç°ÈpšGes– }in“Fig.“3,“no“additional“memory“(b˜ey¸ãond“that“requiredŽ¡’ç°Èfor–uan“o¸ãv‘ÿqÇal)“need“bGe“used“for“the“storage“of“the“informationŽ¡’ç°Èab•Gout›UUp“osition˜and˜orien¸ãtation˜of˜the˜particles.Ž© Y’ö°ÈOne–óadditional“adv‘ÿqÇan¸ãtage“and“one“additional“disad-Ž¡’ç°Èv‘ÿqÇan¸ãtage– ãof“the“mošGdel“prop˜osed“here“should“b˜e“men¸ãtioned.Ž¡’ç°ÈThe–X¥adv›ÿqÇan¸ãtage“is“that“this“moGdel“has“a“ xed“v˜alue“of“theŽ¡’ç°Èradius–‚of“curv‘ÿqÇature“at“evš¸ãery“pGoin˜t“of“the“surface“of“theŽ¡’ç°Èparticles–5÷that“is“bGounded“bš¸ãy“con˜tin˜uously“joined“arc˜hes.Ž¡’ç°ÈThis–earea“of“o•¸ãv“erlap–}>(see“[12]).“The“geometry“of“the“bGoun-Ž¡‘âdary– w¸ãalls,“the“particle“masses,“particle“densities,“the“timeŽ¡‘âstep–¦Ðand“the“coGecien¸ãt“of“the“restitution“of“the“particlesŽ¡‘âwš¸ãere–äthe“same“in“all“cases.“The“moGdels“w˜ere“run“on“theŽ¡‘âsame–á«Sparcstation“20“computer“(75“MHZ‘á‡proGcessor),“forŽ¡‘âthe–gªsame“p•Gerio“d–gªof“sim¸ãulation“time“(4.69ó !",š cmsy10¸²10Ÿü^ÿ±4Ž‘ä²time“steps),Ž¡‘âand– éthe“amounš¸ãt“of“CPU‘ ºtime“expGended“w˜as“determinedŽ¡‘âand–§9compared.“The“same“conš¸ãtact“searc˜h“routine“for“nearŽ¡‘âneighš¸ãbGors–UU[12]“w˜as“used“in“all“sim˜ulations.Ž© ½Ä‘ñThe–þUinitial“pGositions“of“the“particles“are“presen¸ãted“inŽ¡‘âFigure–Ýô4a“for“the“case“of“round“particles,“in“Figure“5aŽ¡‘âfor–x2the“case“of“quasi-triangular“particles,“in“Figure“6a“forŽ¡‘âquasi-square–0particles,“in“Figure“7a“for“the“supGerquadricŽ¡‘âparticles–Ü‹and“in“Figure“8a“for“square“particles.“Figures“4b,Ž¡‘â5b–Ðãand“6b,“7b“and“8b“depict“the“ nal“pGositions“of“theŽ¡‘âparticles–UUfor“these“ v¸ãe“cases.Ž¦‘ñThe–8ãresults“of“the“simš¸ãulation“of“these“cases“on“a“SP‘ÿ*ªAR˜C-Ž¡‘â20–ýrwš¸ãorkstation“are“presen˜ted“in“T‘ÿ*ªable“1.“These“resultsŽ¡‘âsho¸ãw–µ the“CPU‘´ôdi erence“of“abšGout“66%“b˜et•¸ãw“een–µ the“caseŽ¡‘âof–:Æround“particles“and“case“of“the“quasi-triangular“partic-ŽŽŽ þ¢œmŸ²x’ç°È þõ ÐïLps::[begin] 16404280 17495344 6775521 11774935 33482915 40258437 startTexFigïps: plotfile p5.psïps::[end] endTexFigŽŽŽŸ ³8’ç°ÈÅFig.–k¿5.“½Results–ø¡of“the“simš¾9ulation“of“the“gra˜vit˜y“settling“of“theŽ¤ ³8’ç°Èquasi-triangular–€particles“in“a“rectangular“bAÇoš¾9x.“It“w˜as“pAÇerfor-Ž¡’ç°Èmed–ëäfor“the“same“particle“mass,“same“time“stepand“same“timeŽ¡’ç°Èelapsed–‰9in“the“system“(same“n•¾9um“bAÇer–‰9of“time“steps)“as“the“si-Ž¡’ç°Èmš¾9ulation–" for“round“particles“presen˜ted“on“Figure“4.“(a)“InitialŽ¡’ç°ÈpšAÇositions–i9of“the“particles;“(b)“p˜ositions“of“the“particles“at“theŽ¡’ç°Èend–Tof“the“sim¾9ulation.ŽŽ ú|D ÿ÷’ç°ÈïTps: gsave currentpoint currentpoint translate -90 rotate neg exch neg exch translate ÿ0KxïLps::[begin] 14499337 13612168 7762247 14406205 32496189 37627166 startTexFigï ps:: doclipïps: plotfile p6.psïps::[end] endTexFigŽŽŽ’Ý> ï ps: currentpoint grestore movetoŽŽŽŽ ë> ’ç°ÈÅFig.–ŒÊ6.“½Same–Tas“Figure“5,“but“for“quasi-square“particlesŽŽŸ~;’ç°È²les–ÇcompGosed“of“arc¸ãhes.“The“case“of“quasi-square“particlesŽ¤ <.’ç°Èis–;[just“4%“slo•¸ãw“er–;[than“the“case“of“quasi-triangular“partic-Ž¡’ç°Èles,–õÔthis“time“di erence“is“due“to“sligh¸ãtly“longer“proGcedureŽ¡’ç°Èof–û the“determination“of“conš¸ãtacting“arc˜hes“for“quasi-squareŽ¡’ç°Èparticles–¹than“for“quasi-triangular“particles“due“to“largerŽ¡’ç°Èn•¸ãum“bšGer–lof“arc¸ãhes.“The“case“of“sup˜erquadric“particles“w¸ãasŽ¡’ç°Èmore–8than“one“order“of“magnitude“slo•¸ãw“er–8than“the“case“ofŽŽŽŽŽŽŒ‹S è(À ý×@’Ý`½5ŽŽŽ È(À þ¢œmŸ²x‘â þõ ÐïLps::[begin] 16404280 17495344 6775521 11774935 33482915 40258437 startTexFigïps: plotfile p7.psïps::[end] endTexFigŽŽŽŸ ³8‘âÅFig.–0b7.“½Results–Äof“the“simš¾9ulation“of“gra˜vit˜y“settling“of“theŽ¤ ³8‘âsame›ÐCn•¾9um“b•AÇer˜of˜sup“erquadric˜particles˜[9]˜as˜on˜Figure˜4.˜ItŽ¡‘âw¾9as–×.pAÇerformed“for“the“same“particle“mass,“same“time“step“andŽ¡‘âsame–¤time“elapsed“in“the“system“(same“n•¾9um“bAÇer–¤of“time“steps)Ž¡‘âas–Lithe“simš¾9ulation“for“round“particles“presen˜ted“on“Figure“4.‘˜Ò(a)Ž¡‘âInitial–k_pšAÇositions“of“the“particles;“(b)“p˜ositions“of“the“particlesŽ¡‘âat–Tthe“end“of“the“sim¾9ulationŽŽ 2Ä- þÚŸ ‘âïTps: gsave currentpoint currentpoint translate -90 rotate neg exch neg exch translate ÿ5ü:ïLps::[begin] 14101924 13239238 7762247 14406205 32496189 37627166 startTexFigï ps:: doclipïps: plotfile p8.psïps::[end] endTexFigŽŽŽ’×-¤ï ps: currentpoint grestore movetoŽŽŽŽ å-¤‘âÅFig.–®Ë8.“½Results–T„of“the“simš¾9ulation“of“gra˜vit˜y“settling“of“the“sameŽ¤ ³8‘ân•¾9um“bšAÇer–uUof“square“particles“as“on“Figure“4.“It“w¾9as“p˜erformed“forŽ¡‘âthe–Ê!same“particle“mass,“same“time“step“and“same“time“elapsedŽ¡‘âin–;;the“system“(same“n•¾9um“bAÇer–;;of“time“steps)“as“the“sim¾9ulation“forŽ¡‘ânon-round–¦Uparticles“presen¾9ted“on“Figure“4.“(a)“Initial“pAÇositionsŽ¡‘âof–ï¨the“particles;“(b)“pAÇositions“of“the“particles“at“the“end“of“theŽ¡‘âsim¾9ulation.ŽŽŸc9‘â²round–G5particles.“(It“is“hard“to“do“exact“pGerformance“com-ŽŸ <.‘âparisons–×9for“this“case“since“the“proGcedure“is“iterationalŽŽŽ ýSÀµ’ç°Èand–í#\exact"“solution“is“nevš¸ãer“reac˜hed.“W‘ÿ*ªe“used“four“ite-Ž¤ <.’ç°Èrations–¤ŽpGer“time“step“here,“di erenš¸ãt“n˜um˜bGer“of“iterationsŽ¡’ç°Èmaš¸ãy–ÌPproGduce“di eren˜t“results.)“Finally‘ÿ*ª,“the“moGdel“withŽ¡’ç°Èsquare–áparticles“wš¸ãas“almost“four“times“slo˜w˜er“than“theŽ¡’ç°ÈmoGdel–̽for“round“particles“and“thš¸ãus“more“than“t˜w˜o“timesŽ¡’ç°Èslo•¸ãw“er–ã§that“the“mošGdel“prop˜osed“in“this“pap˜er.“Th¸ãus,“theŽ¡’ç°ÈmošGdel–}presen¸ãted“here“easily“outp˜erforms“ev¸ãery“other“mo-Ž¡’ç°Èdel–UUfor“non-round“particles“aš¸ãv‘ÿqÇailable“at“the“presen˜t“time.ŽŸ#‰G’ç°ÈÄ4Ž© ™í’ç°ÈConclusionsŽŸ™í’ç°È²In–M™this“papšGer,“a“mo˜del“has“b˜een“prop˜osed“for“a“soft-particleŽ¡’ç°Èdiscrete–Ÿželemenš¸ãt“sim˜ulation“of“the“motion“of“non-roundŽ¡’ç°Èparticles.–°LThis“moGdel“is“based“on“the“construction“of“aŽ¡’ç°Èparticle–ôbGoundary“out“of“a“set“of“arcš¸ãhes“whic˜h“are“connec-Ž¡’ç°Èted–‹·to“eacš¸ãh“other“so“that“the“ rst“deriv‘ÿqÇativ˜e“at“the“pGoin˜tŽ¡’ç°Èof–ˆtransition“from“one“arc¸ãh“to“another“is“the“same“fromŽ¡’ç°ÈbšGoth–t?sides.“The“mo˜del“allo¸ãws“us“to“v‘ÿqÇary“considerably“theŽ¡’ç°Èdegree–z‘of“roughness“of“a“particle“surface,“and“it“pGerformsŽ¡’ç°Èapproš¸ãximately–st60%“slo˜w˜er“than“a“moGdel“for“the“round“par-Ž¡’ç°Èticles,–C,thš¸ãus“easily“outpGerforming“an˜y“other“moGdel“curren˜tlyŽ¡’ç°Èa¸ãv‘ÿqÇailable–UUfor“non-round“particles.Ž¦’ö°ÈThe–O]moGdel“is“capable“of“ecienš¸ãtly“sim˜ulating“nearlyŽ¡’ç°ÈpšGolygonal–ƒBparticles.“The“main“use“of“this“t¸ãyp˜e“of“sim¸ãu-Ž¡’ç°Èlation–âis“not“necessarily“to“sim¸ãulate“the“actual“shapGes“ofŽ¡’ç°Èthe–Dparticles“in“naturally“oGccurring“materials,“but“to“pro-Ž¡’ç°Èvide–Ê a“w•¸ãa“y–Ê of“adding“the“e ects“of“non-round“shapGes“(inŽ¡’ç°Èparticular,–Öíparticle“in•¸ãterloGc“king)›Öíin“to˜existing˜sim“ulations.ŽŸ#‰G¦’ç°ÈÄReferencesŽŸ÷’ìPƽ1.ŽŽ’ø‚ŠCampbAÇell,–¡ãC.S.,“Computer“simš¾9ulation“of“rapid“gran˜ularŽ¤ ³8’ø‚Š oš¾9ws,–­æProAÇc.“10Ÿü-=ó;Îcmmi6ÀthŽ‘ 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o˜w“through“a“hoppAÇer,“Computer“Me-Ž¡‘òÑÂthoAÇds––in“Applied“Mec¾9hanics“and“Engineering“124“(1995),Ž¡‘òÑÂp.273-281.Ž¡‘â14.ŽŽ‘òÑÂTillemans,–."H.J.“&“Herrmann,“H.J.,“Sim¾9ulating“deformati-Ž¡‘òÑÂons–Nïof“granš¾9ular“solids“under“shear,“Ph˜ysica“A‘Nà217“(1995),Ž¡‘òÑÂp.261-288.ŽŽŽ ýSÀµ’ç°È15.ŽŽ’ø‚ŠP•¾9osc“hel,–ÝT.“&“Buc¾9hholtz,“V.,“Molecular“Dynamics“of“Ar-Ž¤ ³8’ø‚Šbitrarily–xyShapAÇed“Granš¾9ular“P˜articles,“Journal“de“Ph˜ysiqueŽ¡’ø‚ŠI–T5“(1995),“p.1431-1455.Ž¡’ç°È16.ŽŽ’ø‚ŠP•¾9otapšAÇo“v,–ý A.V.,“Hopkins,“M.A.“&“Campb˜ell,“C.S.,“A‘ýTw¾9o-Ž¡’ø‚Šdimensional–˜ýDynamic“Simš¾9ulation“of“Solid“F‘ÿ:«racture.“P˜art“I:Ž¡’ø‚ŠDescription–€nof“the“MošAÇdel,“In¾9ternational“Journal“of“Mo˜dernŽ¡’ø‚ŠPh¾9ysics–TC“6“(1995),“p.371-398.Ž¡’ç°È17.ŽŽ’ø‚ŠP•¾9otapšAÇo“v,–ý A.V.,“Campb˜ell,“C.S.“&“Hopkins,“M.A.,“A‘ýTw¾9o-Ž¡’ø‚Šdimensional–èDynamic“Simš¾9ulation“of“Solid“F‘ÿ:«racture.“P˜artŽ¡’ø‚ŠIšAÇI:–mbExamples,“In¾9ternational“Journal“of“Mo˜dern“Ph¾9ysics“CŽ¡’ø‚Š6–T(1995),“p.399-425.Ž¡’ç°È18.ŽŽ’ø‚ŠP•¾9otapšAÇo“v,–h{A.V.“&“Campb˜ell,“C.S.,“A‘hOHybrid“Finite-elemen¾9tŽ¡’ø‚Šsimš¾9ulation–úëof“Solid“F‘ÿ:«racture,“In˜ternational“Journal“of“Mo-Ž¡’ø‚Šdern–TPh¾9ysics“C“7“(1996),“p.155-180.Ž¡’ç°È19.ŽŽ’ø‚ŠP•¾9otapšAÇo“v,–ÊêA.V.“&“Campb˜ell,“C.S.,“A‘ÊxThree-dimensionalŽ¡’ø‚ŠDynamic–±kSimš¾9ulation“of“Solid“F‘ÿ:«racture,“In˜ternational“Jour-Ž¡’ø‚Šnal–Tof“MoAÇdern“Ph¾9ysics“C“7“(1996),“p.717-730.ŽŽŽŽŽŽŒøzÀ;èè(Àâ ót ‰: cmbx9óñkAH cmssbx10ó©±Ê cmsy9ó;Îcmmi6ó5ùž" cmmi9ó¹Aa¨cmr6óo´‹Ç cmr9óñkAHG® cmssbx10óò"V cmbx10ó !",š cmsy10ó  b> cmmi10óKñ`y cmr10óÙ“ Rcmr7ù„Ýßßßßß