÷ƒ’À;è TeX output 1999.06.29:1517‹ÿÿÿÿ è(À ý×@ È(À ýÝ9 ÿl‡®ŸòñË‘âŸåt›‰ffŸ$ÿ„$ÿffŸïÌÈ‘óò"V cmbx10¹StrucOpt–ÕTman®9uscript“No.ŽŸ ³8‘óKñ`y cmr10²(will–UUbGe“inserted“b¸ãy“the“editor)ŽŽ’ÿ34„$ÿffŽžff‰ffŽŽŽŸ3Õw‘âóñkAHG® cmssbx10¼Using–Vresp‘‡+onse“surface“app–ÿxÔro“ximationsŽŸ0­‘âin–Vfuzzy“set“based“design“optimizationŸùº¯ó·ág£ cmmi12¿?ŽŽŸ=q‘â¹G.–ÕTV‘ÿ «en®9ter“and“R.T.“Haftk‘ÿ\raŽŸ3¼kŽ "Æù ýû9‘âAbstractŽŽ‘J²The–ÛpapšGer“fo˜cuses“on“mo˜delling“uncertain•¸ãt“yŽ¤ ‘ât¸ãypical–âof“the“aircraft“industry‘ÿ*ª.“The“design“problem“in-Ž¡‘âv•¸ãolv“es–Êmaximizing“a“safet¸ãy“measure“of“an“isotropic“plateŽ¡‘âfor–è cmmi10µx²)–Ç:‘mµX‘úó !",š cmsy10¸!“²[0µ;–ª¨²1]“µ:ŽŽŽ’É×Q²(1)ŽŽŽŽŽ¡‘âIn–ZI(1)“¹M“²denotes“a“mem¸ãbGership“function“that“maps“theŽ¤ ‘âelemenš¸ãts–¨of“the“univ˜ersal“set“µX‘Њ²to“the“real“in˜terv‘ÿqÇal“[0µ;‘ª¨²1].Ž¡‘âThe–*same“sym¸ãbšGol,“a“b˜old“face“capital“letter,“is“used“toŽ¡‘âdenote–ŠbšGoth“the“fuzzy“set“and“its“mem¸ãb˜ership“function.Ž¡‘âSince–°´nŽŸ €‘ÇŸöü«XŽŽŸ Ìt‘…Õ´i±=1ŽŽ–㉵eŸûÞÿ±2ŽŸÙ”(´i±)ŽŽ‘ [f²=Ÿóý‘‡>´nŽŸ €‘ÇŸöü«XŽŽŸ Ìt‘…Õ´i±=1ŽŽ“Ÿ÷æb«Ž‘5µyŸÿ´iŽ‘,¸‘è–²^Ž‘8àµyŸÎ:±(´i±)ŽŽŽ‘´MŸ÷æb«ŽŽ‘>(—Ÿùøß±2Ž‘EúZµ:ŽŽŽ’Ä×P²(14)ŽŽŽŽŽŸ >­‘âTheŽŸØ‘â%RMSEŽ‘8éŸÿ±PRESSŽ‘#㕲=Ÿù<$‘úK100Ž‘úKŸw‰feŸ (Ö‘Þ†Ÿú~™‰feBøŸgµyŽŽŽŽŽŽ‘-ŸðId«rŽ‘-‚ŸðId‰fe(|ZŸ¶œŸù<$‘³€²1Ž‘33Ÿw‰fešŸ (ÖµnŽŽŽŽ‘g²PRESSŽŽŽŽ‘HT„µ:ŽŽŽ’Ä×P²(15)ŽŽŽŽŽŽŽ ýùwtŸóŒÈ’íaÕFig.–83.“ÄThree-dimensional–˼view“of“the“plate“with“a“thic¾9knessŽŸ ³8’íac¾9hange.ŽŽ ¸tsŸþ@’íaÕFig.–%R4.“ÄCross-section–»vof“plate“with“respAÇonse“v‘ÿ|rariables“sho¾9wn.ŽŽŸpì’íaÐ4Ž© ¸v’íaPlate‘ª¬exampleŽŸ)b’ía²An–Ìýisotropic“plate“with“a“cš¸ãhange“in“thic˜kness“in“the“formŽ¤ ’íaof–èa“linear“ramp“(see“Fig.“3)“is“the“design“problem“con-Ž¡’íasidered–UUin“the“presen¸ãt“papGer.Ž¦’üaThree–™©nondimensional“parameters,“µ²,“µ ‘ Ųand“µ ‘Ž8²,“areŽ¡’íaused–Nnto“spšGecify“the“geometry“and“lo˜cation“of“the“c¸ãhangeŽ¡’íain–Eàthic¸ãkness“(see“Fig.“4).“The“plate“is“simply“suppGorted“onŽ¡’íat•¸ãw“o–)oedges,“free“on“the“other“t•¸ãw“o–)oedges,“and“sub‘Ž8jected“toŽ¡’íaan–)uniformly“distributed“load“applied“on“the“t•¸ãw“o‘)simplyŽ¡’íasuppGorted‘UUedges.Ž¦’üaBoth–O9a“yield“stress“failure“(according“to“the“V‘ÿ*ªon“MisesŽ¡’íacriterion)–™ªand“a“bucš¸ãkling“load“constrain˜t“are“consideredŽ¡’íain–õWthe“design,“and“the“failure“load“µPŸÿ´fŽ‘ $w²of“the“plate“isŽ¡’íacalculated‘UUfromŽŸ*ª’íaµPŸÿ´fŽ‘ö8²=‘ÇminŽŽŸåð‘n«8ŽŸ ‘n>Ž¤‘n>Ž¡‘n<ŽŸ ‘n>Ž¡‘n>Ž¡‘n:ŽŽŸòàuŸùLÌ‘ ³0µŸÿ´YŽ‘ìGµbtŸÿ±0ŽŽ‘ ³0Ÿff‰feÛþŸÌÉ‘ —z²~Ž‘ %µŸÿ´xŽŽŽŽŽŽŽŽŽŸ ŸùLÌŸýxä‘#˜†²~ŽŸ‡‘ ³0µNŸÿ±critŽŽŽ‘5MÞµ[ÙŸûÞÿ±2Ž‘ØLµE‘“b²(µtŸÿ±0Ž‘|s²)ŸûÞÿ±3ŽŽ‘ ³0Ÿff‰feE˜ Ÿ >‘a4²12(1–8ณµ‘¢öŸûÞÿ±2Ž‘i²)µaŸûÞÿ±2ŽŽŽŽŽŽŽŽŽ‘m†ðµ;ŽŽŽ’Ð8à²(16)ŽŽŽŽŽŸ,›Õ’íaand–UUfailure“is“de ned“to“oGccur“when:ŽŸpì’íaµP‘œo¸‘8àµPŸÿ´fŽ‘ö8¸‘Dz0‘ª¨µ:ŽŽŽ’Ð8à²(17)ŽŽŽŽŽŽŽŽŽŽŒ‹N¨ è(À ý×@’Ý`Ä5ŽŽŽ È(À ýSÀµ‘â²In–l(16)“and“(17),“µŸÿ´yŽ‘ :¡²denotes“the“yield“stress,“µE‘ÿ§²theŽ¤ ‘âY‘ÿ*ªoung's–QÊmoGdulus“and“µ‘ôÀ²the“P¸ãoisson's“ratio“of“the“ma-Ž¡‘âterial–Ü×considered,“while“µ²,“µa²,“µb²,“µtŸÿ±0Ž‘ YJ²and“µr‘#ô²describGe“theŽ¡‘âgeometry–ÇÉof“the“plate“as“sho¸ãwn“in“Figs.“3“and“4“and“µPŽ¡‘â²denotes–w+the“applied“load.“Additionally‘ÿ*ª,‘€~Ž“µŸÿ´xŽŽŽ‘® ²denotes“theŽ¡‘ânondimensional,–€»µx²-directional“stress“compGonen¸ãt“on“theŽ¡‘âtop–yÊsurface“of“the“thin“section“of“the“plate,“calculated“aŽ¡‘âdistance–UUµr‘œr²from“the“re-en•¸ãtran“t–UUcorner,“and“is“de ned“asŽ©¦&‘â‰U~Ž‘ⵟÿ´xŽŽŽ‘ï†Í²=Ÿù<$‘úKµbtŸÿ±0Ž‘|sµŸÿ´xŽŽ‘úKŸw‰feø›Ÿ (Ö‘ ”¿µPŽŽŽŽ‘#ÐÁ;ŽŽŽ’Ä×P²(18)ŽŽŽŽŽŸ™‘âwhileŸýxä‘EY~ŽŸ‡‘`µNŸÿ±critŽŽŽ‘Z´²denotes–`the“nondimensional“buc¸ãkling“load“ofŽ¡‘âthe–UUplate,“de ned“asŽŸØ8Ÿýxä‘äåV~ŽŸ‡‘âµNŸÿ±critŽŽŽ‘ùaƲ=Ÿù<$‘úK12(1–8ณµ‘¢öŸü^ÿ±2Ž‘i²)µaŸü^ÿ±2Ž‘|sµNŸÿ±critŽŽ‘úKŸw‰feKpQŸ (Ö‘ 9{µ[ÙŸýr±2Ž‘ØLµE‘“b²(µtŸÿ±0Ž‘|s²)Ÿýr±3ŽŽŽŽŽ‘RHwµ:ŽŽŽ’Ä×P²(19)ŽŽŽŽŽŸÚÅ‘ñV‘ÿ*ªenš¸ãter–żÑet‘Ëal.“²(1997)“used“a“large“n˜um˜bGer“of“n˜umericalŽ¡‘âexpGerimenš¸ãts– æto“study“this“problem“in“detail,“and“sho˜w˜edŽ¡‘âthat–·„the“maximš¸ãum“v˜on“Mises“stress“alw˜a˜ys“oGccurs“on“theŽ¡‘âtop–ílsurface“of“the“thin“section“of“the“plate,“in“whic¸ãh“caseŽ¡‘ⵟÿ´xŽ‘ )*²is– Fthe“only“nonzero“stress“compGonen¸ãt.“According“toŽ¡‘âthe–UUv¸ãon“Mises“criterion,“failure“then“oGccurs“whenŽ¦‘â‰U~Ž‘ⵟÿ´xŽŽŽ‘ï†Í¸‘Pm²~Ž‘ǵŸÿ´YŽŽŽ‘1H²=Ÿù<$‘úKµbtŸÿ±0Ž‘|sµŸÿ´YŽŽ‘úKŸw‰feÛþŸ (Ö‘ †qµPŽŽŽŽ‘%´$:ŽŽŽ’Ä×P²(20)ŽŽŽŽŽŸZÅ‘âV‘ÿ*ªen¸ãter–]LÑet‘¯·al.“²(1997)“also“determined“that“the“problem“hasŽ¡‘âbšGoth–¨a“lo˜cal“and“a“global“buc¸ãkling“mo˜de,“and“de ned“aŽ¡‘âsimple–hçgeometric“criterion“to“distinguish“bGet•¸ãw“een–hçthe“t•¸ãw“oŽ¡‘âbucš¸ãkling–UUmoGdes“as“follo˜ws:ŽŸ!#·‘âbuc¸ãkling‘UUmoGdeŽ‘$c”=‘ÇŸîæ\«(ŽŸ÷æd‘ US²loGcal‘UUifŽŽŸû&h‘3Ï©±(0´:±5·´ \·´ n9±)Ž‘3Ï©ŸŒÊ‰fe&Ÿ^Ÿ¿˜‘ð’´ŽŽŽŽ‘^iR¸‘Dz0µ:²6ŽŽŸ³4‘ USglobal‘UUifŽŽŸû&h‘3Ï©±(0´:±5·´ \·´ n9±)Ž‘3Ï©ŸŒÊ‰fe&Ÿ^Ÿ¿˜‘ð’´ŽŽŽŽ‘^iR¸‘Dz0µ:²6ŽŽŽ‘xéOµ:ŽŽŽŽ’Ä×P²(21)ŽŽŽŽŽŸ!±ð‘ñV‘ÿ*ªen¸ãter–-Ñet‘=õal.“²(1997)“constructed“highly“accurate“re-Ž¡‘âspšGonse–Ñ3surface“appro¸ãximations“for“b˜oth“the“µx²-directionalŽ¡‘âstress–éLdistribution“on“the“top“surface“of“the“thin“sec-Ž¡‘âtion–¬Æof“the“plate“and“for“the“buc¸ãkling“load“of“the“plate,Ž¡‘âusing–X cmmi10ó 0e—rcmmi7óO Ú\cmmi5óKñ`y cmr10óÙ“ Rcmr7óú±u cmex10ùûJßßßßßß